F14 Геометрическое место точек (ГМТ)

Метод состоит в том, что вместо поиска одной точки мы описываем все точки, удовлетворяющие данному условию, то есть геометрическое место точек (ГМТ).

Почему это отдельный метод? Потому что во многих задачах вопрос не «найди точку $P$», а «найди множество всех $P$, таких что [условие]». Ответ — не одна точка, а геометрическая фигура: прямая, окружность, дуга, луч, эллипс. Умение распознавать «стандартные» ГМТ и составлять их из кусков — ключевой навык.

Интуиция: ГМТ — это «портрет условия». Условие $PA = PB$ описывает серединный перпендикуляр $AB$. Условие $\angle APB = 90°$ при фиксированных $A, B$ описывает окружность с диаметром $AB$. Условие $PA + PB = \text{const}$ описывает эллипс. Зная стандартные «портреты», ты сразу узнаёшь ответ.

Задачи на ГМТ могут требовать как нахождения ГМТ, так и доказательства, что данное множество является ГМТ. Второй тип требует доказательства двустороннего: каждая точка множества удовлетворяет условию (принадлежность) и каждая точка, удовлетворяющая условию, принадлежит множеству (полнота).

• Серединный перпендикуляр: ГМТ, равноудалённых от двух точек $A$ и $B$ — это серединный перпендикуляр отрезка $AB$. Когда использовать: $PA = PB$ или $PA^2 = PB^2$.

• Биссектриса угла: ГМТ, равноудалённых от двух прямых — это биссектриса угла между ними. Когда использовать: расстояние от точки до двух прямых одинаково.

• Теорема Фалеса (вписанный угол): ГМТ точек, из которых отрезок $AB$ виден под прямым углом — окружность с диаметром $AB$. Более общо: ГМТ точек, из которых $AB$ виден под углом $\alpha$ — дуга (дуги) окружности. Когда использовать: в условии зафиксирован угол при точке $P$.

• Эллипс: ГМТ точек, у которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Когда использовать: $PA + PB = \text{const}$ в олимпиадных задачах чаще заменяется описанием через окружность.

• Парабола: ГМТ точек, равноудалённых от точки (фокуса) и прямой (директрисы$). *$Когда использовать:* редко в школьных олимпиадах, но встречается в задачах на «вписать», «коснуться».

• Свести к стандартному ГМТ. Условие $PA = PB$ — серединный перпендикуляр; $PA^2 + PB^2 = c$ — окружность; $PA\cdot PB = c$ — картезианова овальная кривая. Узнавай стандартные форматы.

• Параметрически описать точку. Если $P$ движется по прямой, введи параметр $t$ (координату вдоль прямой) и запиши условие как уравнение на $t$.

• Доказать принадлежность и полноту. При ответе «ГМТ — это окружность» докажи: (1) любая точка окружности удовлетворяет условию; (2) любая точка, удовлетворяющая условию, лежит на окружности.

• Использовать преобразование (симметрия, поворот). Если ГМТ симметрично, можно описать его через ось симметрии.

• Разбить на случаи. ГМТ может состоять из нескольких кусков (две дуги, два луча, отрезок + луч). Анализируй каждый случай.

• Нарисовать несколько частных точек. Подбери 3–4 конкретные точки $P$, удовлетворяющие условию, и увидишь «форму» ГМТ — это подскажет, что доказывать.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Найдите геометрическое место точек $P$, таких что...»
- «Опишите все точки плоскости, для которых...»
- «При каких положениях точки $P$ выполнено...»

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Условие задаётся через расстояния от движущейся точки до фиксированных точек или прямых.
- Условие задаётся через угол, который отрезок виден из движущейся точки.
- В условии появляется параметр — точка движется по некоторому множеству.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Назвать геометрическую фигуру и дать её уравнение или описание.
- Доказать, что данная фигура является ГМТ.
- Найти пересечение нескольких ГМТ (то есть точки, удовлетворяющие нескольким условиям).

Задача 1. Найдите ГМТ середин отрезков $PA$, где $P$ — точка на окружности радиуса $R$ с центром $O$, а $A$ — фиксированная точка внутри окружности.

Источник: тренировочная (классическое ГМТ).

Как думать (рассуждение ученика):
1. Точка $M$ — середина $PA$, значит $M = (P+A)/2$ в векторной записи. При движении $P$ по окружности $M$ тоже движется.
2. Вектор $\vec{OM} = (\vec{OP}+\vec{OA})/2$. Длина $\vec{OP}=R$, поэтому $\vec{OM}-\vec{OA}/2 = \vec{OP}/2$, то есть $|\vec{OM}-\vec{OA}/2|=R/2$.
3. Это окружность с центром в середине $OA$ и радиусом $R/2$!

Решение:

Обозначим $\vec{OA}=\vec{a}$. Для середины $M$ отрезка $PA$:$$\vec{OM} = \frac{\vec{OP}+\vec{OA}}{2} = \frac{\vec{OP}+\vec{a}}{2}.$$

Отсюда $\vec{OP} = 2\vec{OM}-\vec{a}$. Так как $|\vec{OP}|=R$:$$|2\vec{OM}-\vec{a}|=R \Rightarrow \left|\vec{OM}-\frac{\vec{a}}{2}\right|=\frac{R}{2}.$$

Это окружность с центром в точке $N$ (середина $OA$) и радиусом $R/2$.

Ответ: ГМТ — окружность с центром в середине $OA$ и радиусом $R/2$.

Что в этой задаче было главным: «сжатие» движущейся точки в $\frac{1}{2}$ относительно фиксированной точки переводит окружность в окружность вдвое меньшего радиуса.

Задача 2. Найдите ГМТ точек $P$ в плоскости, для которых $PA^2 - PB^2 = c$, где $A, B$ — фиксированные точки, $c$ — константа.

Источник: тренировочная.

Как думать (рассуждение ученика):
1. Разность квадратов расстояний — это признак «прямой». Вспомню: $PA^2 - PB^2$ можно раскрыть через координаты.
2. Пусть $A=(a,0)$, $B=(-a,0)$ (симметрично), $P=(x,y)$. Тогда $PA^2=(x-a)^2+y^2$, $PB^2=(x+a)^2+y^2$.
3. Разность: $PA^2 - PB^2 = -4ax$. Условие $-4ax = c$, то есть $x = -c/(4a)$ — вертикальная прямая!

Решение:

Введём систему координат с серединой $AB$ в начале, $A=(a,0)$, $B=(-a,0)$, $P=(x,y)$.

$$PA^2 - PB^2 = [(x-a)^2+y^2]-[(x+a)^2+y^2] = -4ax = c.$$

Отсюда $x = -\dfrac{c}{4a}$ — прямая, перпендикулярная $AB$.

Ответ: ГМТ — прямая, перпендикулярная $AB$.

Что в этой задаче было главным: разность квадратов расстояний линейна по координатам, поэтому ГМТ — всегда прямая. Это важное «стандартное» ГМТ для запоминания.

• Ошибка: доказать только «принадлежность», не доказав «полноту». Показав, что «если $P$ лежит на окружности, то условие выполнено», ты не доказал, что нет других точек. → Всегда явно доказывай оба направления ($\Leftrightarrow$).

• Ошибка: не проверить граничные случаи. ГМТ может вырождаться в точку или пустое множество при некоторых значениях параметров. → Анализируй, при каких условиях ГМТ непустое.

• Ошибка: ответить «прямая» вместо «луч» или «отрезок». Иногда дополнительные ограничения (например, $P$ лежит внутри угла) выделяют только часть ГМТ. → Проверяй ограничения задачи.

• Ошибка: не нарисовать картинку. Без рисунка легко пропустить, что ГМТ состоит из двух частей (двух дуг, двух лучей). → Всегда рисуй несколько конкретных точек перед ответом.

• Ошибка: перепутать вписанный угол и центральный. «$P$ видит $AB$ под углом $\alpha$» — вписанный угол, а не центральный. Центральный угол вдвое больше. → При использовании теоремы о вписанном угле явно различай оба.