F13 Инцентр, биссектрисы, равные касательные

Метод состоит в том, что мы эксплуатируем свойства вписанной окружности треугольника (и более общих многоугольников): её центр (инцентр $I$) равноудалён от всех трёх сторон, биссектрисы всех трёх углов проходят через $I$, а точки касания делят стороны специальным образом через равные отрезки касательных.

Ключевое свойство, которое «решает» большинство задач: из любой точки вне окружности касательные к ней равны — то есть если из вершины $A$ провести касательные к вписанной окружности в точках $X$ и $Y$, то $AX = AY$. Этот факт позволяет выразить все отрезки касательных через полупериметр $s = (a+b+c)/2$.

Интуиция: вписанная окружность — это «вписанный» в треугольник круг, который касается всех сторон. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от двух сторон угла. Пересечение трёх таких мест — это инцентр. Равенство касательных — это просто следствие того, что касательный отрезок из точки до точки касания одинаков по обеим «ветвям» из-за симметрии.

Метод незаменим на ВсОШ-9: частота = 6, что означает почти гарантированную встречу в финале регионального или заключительного тура.

• Инцентр: точка пересечения биссектрис $I$ равноудалена от всех трёх сторон. Расстояние от $I$ до стороны = радиус вписанной окружности $r$. Когда использовать: выразить высоту вписанного треугольника через $r$; доказать, что некая точка — инцентр.

• Равные касательные: если вписанная окружность касается $BC$ в $X$, $CA$ в $Y$, $AB$ в $Z$, то $AY=AZ=s-a$, $BX=BZ=s-b$, $CX=CY=s-c$, где $s=\dfrac{a+b+c}{2}$. Когда использовать: выразить неизвестные отрезки через стороны.

• Радиус вписанной окружности: $r = \dfrac{S}{s}$, где $S$ — площадь треугольника. Когда использовать: связать $r$ с площадью и периметром; доказать неравенства.

• Длина биссектрисы: $l_a = \dfrac{2bc\cos(A/2)}{b+c}$. Когда использовать: найти длину биссектрисы через стороны и угол.

• Теорема о биссектрисе: биссектриса $AD$ делит $BC$ в отношении $BD:DC = AB:AC = c:b$. Когда использовать: найти положение точки на стороне, делённой биссектрисой.

• Ввести отрезки касательных. При вписанной окружности обозначь $x = s-a$, $y = s-b$, $z = s-c$ (касательные от вершин) и работай с этими переменными — они часто упрощают алгебру.

• Использовать равноудалённость инцентра. Если надо доказать, что некая точка — инцентр, покажи, что она равноудалена от всех трёх сторон.

• Применить теорему о биссектрисе (раздел отрезка). Если биссектриса угла $A$ делит $BC$ в точке $D$, то $BD/DC = c/b$.

• Записать площадь через инрадиус. $S = rs$, где $s$ — полупериметр. Это связывает $r$, $S$ и периметр в одном уравнении.

• Эксцентрические окружности. Для задач об одновременном касании вписанной и вневписанной окружностей используй аналогичные формулы для вневписанного радиуса $r_a = S/(s-a)$.

• Угол при инцентре. $\angle BIC = 90° + A/2$ (и циклически). Используй при задачах на углы в треугольнике с инцентром.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- Упоминается вписанная окружность, её радиус, или касание сторон.
- Упоминается инцентр $I$ или биссектрисы углов треугольника.
- Задача говорит «окружность касается $AB$, $BC$, $CA$».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- На сторонах треугольника отмечены точки, делящие их в некотором отношении — возможно, это точки касания.
- В задаче есть конфигурация «точка + три касательных к окружности».
- Треугольник с вписанной окружностью и дополнительными построениями (высоты, медианы, диагонали).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти $r$ или $R$ (радиусы вписанной/описанной окружностей).
- Доказать, что точка есть инцентр (или лежит на биссектрисе).
- Доказать равенство отрезков или углов, связанных с биссектрисой.

Задача 1. В треугольнике $ABC$ со сторонами $a=5$, $b=6$, $c=7$ найдите радиус вписанной окружности.

Источник: тренировочная.

Как думать (рассуждение ученика):
1. Просят $r$. Помню: $r = S/s$. Мне нужна площадь и полупериметр.
2. Полупериметр: $s = (5+6+7)/2 = 9$.
3. Площадь формулой Герона: $S = \sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$.
4. Тогда $r = 6\sqrt{6}/9 = 2\sqrt{6}/3$.

Решение:$s = \frac{5+6+7}{2} = 9.$ $$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}.$$ $$r = \frac{S}{s} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}.$$

Ответ: $r = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.

Что в этой задаче было главным: цепочка $s \to S_{\text{Герон}} \to r = S/s$ — стандартный автоматический ход при вписанной окружности.

Задача 2. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$ делит $AC$ в точке $D$. Докажите, что $\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC}$, и найдите $BD$, если $AB=5$, $BC=4$, $AC=6$.

Источник: тренировочная (ВсОШ-стиль).

Как думать (рассуждение ученика):
1. Биссектриса делит сторону — это теорема о биссектрисе. Первое утверждение — стандартное, второе нужно вычислить.
2. По теореме: $AD/DC = AB/BC = 5/4$, значит $AD = 6\cdot\frac{5}{9}=\frac{10}{3}$, $DC = 6\cdot\frac{4}{9}=\frac{8}{3}$.
3. Для длины $BD$ использую формулу биссектрисы: $l_b = \frac{2ac\cos(B/2)}{a+c}$, или через медиану — через формулу Стюарта.

Решение:

Теорема о биссектрисе: $BD$ — биссектриса угла $B$, значит $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{4}$.

Отсюда $AD = \dfrac{5}{9}\cdot6 = \dfrac{10}{3}$, $DC = \dfrac{8}{3}$.

Формула Стюарта ($BD^2$ для чевианы, делящей $AC$ в отношении $m:n$, где $m=AD$, $n=DC$):$$BD^2 = AB\cdot BC - AD\cdot DC = 5\cdot4 - \frac{10}{3}\cdot\frac{8}{3} = 20 - \frac{80}{9} = \frac{100}{9}.$$ $BD = \frac{10}{3}.$

(Здесь использована упрощённая формула Стюарта для биссектрисы: $BD^2 = AB\cdot BC\left[1 - \left(\frac{AC}{AB+BC}\right)^2\right] = 20\left[1-\frac{36}{81}\right] = 20\cdot\frac{45}{81} = \frac{100}{9}$.$)

**$Ответ:** $AD:DC = 5:4$, $BD = \dfrac{10}{3}$.

Что в этой задаче было главным: теорема о биссектрисе даёт отношение, а затем формула биссектрисы (или Стюарта) — длину; это стандартная двухшаговая схема.

• Ошибка: перепутать инцентр и описанный центр. Инцентр — пересечение биссектрис, описанный центр — пересечение серединных перпендикуляров. Они совпадают только у равностороннего треугольника. → Всегда явно уточняй, о какой окружности идёт речь.

• Ошибка: неправильно применить равенство касательных. Касательные из одной точки равны только если они касаются одной окружности. → Не применяй это свойство к двум разным окружностям.

• Ошибка: перепутать $s-a$, $s-b$, $s-c$ с чем-то другим. Помни: $s-a$ — это касательная от вершины $A$ (противоположной стороне $a$). → Запиши все три в начале решения.

• Ошибка: забыть, что $\angle BIC = 90° + A/2$, а не $A/2$. Частая ошибка при задачах на угол при инцентре. → Выводи формулу каждый раз: $\angle BIC = 180° - \frac{B}{2} - \frac{C}{2} = 180° - \frac{180°-A}{2} = 90° + \frac{A}{2}$.

• Ошибка: применить формулу биссектрисы для нестандартной биссектрисы (например, внешней). Формула $l_a = \frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}$ — для внутренней биссектрисы. → Для внешней биссектрисы формула другая.

• Ошибка: не проверить, что вписанная окружность существует. В общем треугольнике она всегда есть. В задачах на произвольные многоугольники — нет. → При работе с четырёхугольниками проверяй условие $AB+CD = BC+DA$.