F10 Тригонометрия в треугольнике

Метод состоит в том, что вместо работы с длинами сторон и координатами мы вводим в треугольник углы и пользуемся теоремами синусов и косинусов для перехода между сторонами и углами.

Почему это отдельный метод? Потому что многие задачи, которые «не решаются» через пропорции или координаты, мгновенно решаются, если заметить: все стороны пропорциональны синусам противоположных углов (теорема синусов), а квадрат любой стороны выражается через две другие стороны и косинус угла между ними (теорема косинусов). Эти связи превращают геометрию в тригонометрическое уравнение.

Интуиция: представь треугольник как «машину пересчёта» — знаешь три элемента из шести (три стороны + три угла), получаешь остальные три. Тригонометрия — это язык этой машины.

Метод особенно эффективен в задачах, где явно или скрыто задан угол (вписанный угол, угол наклона, угол при вершине). Площадные формулы ($S = \frac{1}{2}ab\sin C$) помогают в задачах на площади, где нет высоты.

• Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Условие: любой треугольник. Когда использовать: есть угол и противоположная сторона; нужно найти $R$; доказать, что два угла равны.

• Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Условие: любой треугольник. Когда использовать: знаешь две стороны и угол между ними, ищешь третью; или знаешь три стороны, ищешь угол.

• Площадь треугольника: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$. Условие: $a, b$ — стороны, $C$ — угол между ними. Когда использовать: нет высоты, но есть угол между сторонами.

• Формула полуугла: $\sin^2\dfrac{A}{2} = \dfrac{(s-b)(s-c)}{bc}$, $\cos^2\dfrac{A}{2} = \dfrac{s(s-a)}{bc}$, где $s = \dfrac{a+b+c}{2}$. Когда использовать: задачи на биссектрису, инцентр, углы вписанной окружности.

• Формула Герона: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$. Условие: все три стороны известны. Когда использовать: вычислить площадь без углов.

• Перейти от сторон к углам через теорему синусов. Если видишь отношение сторон, выражай их через синусы углов: $\frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B}$.

• Применить теорему косинусов для нахождения неизвестного угла. Когда даны все три стороны, вычисли $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ и далее работай с углами.

• Использовать условие $A+B+C=\pi$. Это даёт $\sin C = \sin(A+B)$, $\cos C = -\cos(A+B)$ — мощное тождество для свёртки выражений.

• Выразить площадь двумя способами и приравнять. $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bc\sin A$ — приравнивание выражений для площади часто сокращает условие.

• Замена $a = 2R\sin A$. Позволяет работать только с углами и $R$, устраняя стороны.

• Формула медианы через стороны: $m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ — когда нужно выразить медиану без тригонометрии.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- Задан конкретный угол треугольника или вписанный угол.
- Упоминается радиус описанной/вписанной окружности.
- Нужно найти сторону, зная два угла и одну сторону, или наоборот.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Отношения сторон выражают через дроби — вероятно, это отношения синусов.
- Задача о пересечении биссектрисы и медианы, где нужно найти длину.
- В задаче есть описанная или вписанная окружность и надо найти что-то через $R$ или $r$.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти длину стороны или угол через данные элементы треугольника.
- Доказать неравенство или равенство, связывающее стороны и углы.
- Вычислить площадь треугольника, зная некоторые стороны и углы.

Задача 1. В треугольнике $ABC$ угол $B = 60°$, $AB = 5$, $BC = 7$. Найдите $AC$ и радиус описанной окружности.

Источник: тренировочная.

Как думать (рассуждение ученика):
1. Вижу: две стороны и угол между ними. Это классическая ситуация для теоремы косинусов.
2. Могу найти $AC$ из теоремы косинусов, потом $R$ из теоремы синусов.
3. Первый ход: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B$.

Решение:$$AC^2 = 25 + 49 - 2\cdot5\cdot7\cdot\cos 60° = 74 - 70\cdot\tfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39.$$ $AC = \sqrt{39}.$

Из теоремы синусов: $\dfrac{AC}{\sin B} = 2R$, откуда$$2R = \frac{\sqrt{39}}{\sin 60°} = \frac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{13}.$$ $R = \sqrt{13}.$

Ответ: $AC = \sqrt{39}$, $R = \sqrt{13}$.

Что в этой задаче было главным: последовательность «теорема косинусов → нашли сторону → теорема синусов → нашли $R$» работает всегда, когда даны две стороны и угол между ними.

Задача 2. В треугольнике $ABC$ докажите, что $a\sin(B-C) + b\sin(C-A) + c\sin(A-B) = 0$.

Источник: тренировочная (классическое тождество).

Как думать (рассуждение ученика):
1. Вижу тригонометрическое выражение с циклической симметрией. Цикличность — намёк на замену $a = 2R\sin A$.
2. Если заменю $a, b, c$ через синусы углов, всё сведётся к тождеству только на углах.
3. Первый ход: подставляю $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$.

Решение:
Подставляем:$$2R\bigl[\sin A\sin(B-C)+\sin B\sin(C-A)+\sin C\sin(A-B)\bigr].$$ Раскроем $\sin A = \sin(B+C)$ (так как $A+B+C=\pi$):$$\sin(B+C)\sin(B-C) = \sin^2 B - \sin^2 C.$$ Аналогично для остальных слагаемых:$$\sin^2 B - \sin^2 C + \sin^2 C - \sin^2 A + \sin^2 A - \sin^2 B = 0.$$

Ответ: тождество доказано.

Что в этой задаче было главным: замена $a = 2R\sin A$ «перевела» геометрию в чистую тригонометрию, после чего тождество свелось к телескопической суммой.

• Ошибка: перепутать теорему синусов и косинусов. Теорема синусов — для двух сторон и двух противоположных углов; теорема косинусов — для двух сторон и угла между ними. → Перед применением явно проверяй, что именно известно.

• Ошибка: забыть, что $\cos$ может быть отрицательным. При тупом угле $C > 90°$ $\cos C < 0$, и слагаемое $-2ab\cos C$ увеличивает $c^2$. → Не предполагать знак косинуса заранее.

• Ошибка: использовать теорему синусов с неизвестным знаком угла. Если $\sin B = \frac{b}{2R}$, не забудь, что $B$ и $\pi - B$ дают одинаковый синус. → Проверяй, острый ли угол, через теорему косинусов.

• Ошибка: путать $S = \frac{1}{2}ah_a$ и $S = \frac{1}{2}ab\sin C$. В первой $h_a$ — высота, а не сторона. → Всегда уточняй, что является «основанием» и «высотой».

• Ошибка: считать, что формула Герона даёт угол. Герон даёт только площадь. → Для угла — теорема косинусов.

• Ошибка: не упростить $A+B+C=\pi$ при тождествах. Если в выражении есть $\sin(A+B)$, его нужно заменить на $\sin(\pi - C) = \sin C$. → Всегда делай эту замену при работе с тригонометрическими тождествами.