F1 Треугольники: равенство, подобие, медианы

Почему F1 идёт сразу после E14

По таблице ВсОШ 9 метод F1 — второй по частоте после E14: 23 задачи как основной метод и 38 с учётом дополнительных тегов. Он встречается в 13 годах из 16 и чаще всего появляется на школьном, муниципальном и региональном этапах, но доходит и до заключительного.

Главная мысль: F1 — это не «выучить свойства треугольника». Это умение быстро видеть каркас:

• какие углы равны;
• какие треугольники подобны;
• где спрятан прямоугольный треугольник;
• какую линию надо достроить;
• как медиана, высота или биссектриса превращает условие в вычисление.

Если ученик не владеет F1, он будет тонуть почти во всей геометрии: окружности F2, четырёхугольники F3, доп. построения F4 и гомотетия F5 всё равно часто сводятся к треугольникам.

Реальные ориентиры из таблицы

Это не выдуманные направления. В базе есть реальные задачи, где F1 стоит основным методом:

Важно: часть условий в таблице хранится как OCR-фрагменты, поэтому в тренировке ниже я использую два типа задач:

• реальные ориентиры из ВсОШ: год, этап, номер, сюжет;
• чистые учебные задачи по тем же ходам, чтобы ученик мог тренировать метод без OCR-шума.

• Признак ССС (три стороны). $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, если $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CA = C'A'$. Применять: когда известны все три стороны обоих треугольников.

• Признак СУС (сторона-угол-сторона). $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, если $AB = A'B'$, $\angle A = \angle A'$, $AC = A'C'$. Применять: когда известны две стороны и угол между ними.

• Признак УСУ (угол-сторона-угол). $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, если $\angle A = \angle A'$, $AB = A'B'$, $\angle B = \angle B'$. Применять: когда известна одна сторона и два угла при ней.

• Признак подобия УУ (два угла). $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$, если $\angle A = \angle A'$ и $\angle B = \angle B'$. Применять: как только нашёл два равных угла в двух треугольниках.

• Теорема о медиане (формула). В треугольнике $ABC$ медиана $m_a$ к стороне $a = BC$ удовлетворяет: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$. Применять: когда нужно выразить медиану через стороны или наоборот.

• Точка пересечения медиан (центроид). Медианы $AA'$, $BB'$, $CC'$ пересекаются в точке $G$, причём $AG:GA' = BG:GB' = CG:GC' = 2:1$. Применять: задачи про длины медиан, деление площади.

• Выписать все известные равные элементы: равные отрезки, параллельные прямые (равные накрест лежащие углы), вертикальные углы — формальный список пар равных элементов.
• Выбрать два треугольника с общими вершинами или общей стороной — они с наибольшей вероятностью равны или подобны.
• Признак подобия «два угла»: найди пару общих/вертикальных/накрест лежащих углов — подобие часто сразу виден.
• Провести вспомогательную линию: медиану, высоту, биссектрису, соединить середины — создать новые треугольники с удобными свойствами.
• Использовать центроид: если медианы пересекаются в $G$, то $AG = 2/3 m_a$, $GB' = 1/3 m_b$ — используй для нахождения длин.
• Перевести задачу на координаты (для метрических задач): если условие содержит числовые данные, координатный метод часто проще чисто синтетического.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «треугольник $ABC$», «медиана», «биссектриса», «высота треугольника»
- «докажите, что $AB = CD$» или «найдите длину $MN$» — метрические задачи
- «докажите, что прямые параллельны» или «точки лежат на одной прямой»

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- На чертеже несколько треугольников с общими вершинами или сторонами
- Среди данных — параллельные прямые (накрест лежащие углы!), вертикальные углы, отношения сторон
- Упоминаются середины отрезков, точки деления в соотношении

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать равенство или пропорциональность двух отрезков
- Найти неизвестную длину или угол
- Доказать, что три точки коллинеарны или три прямые конкурентны

Задача 1. Равенство отрезков через равенство треугольников

Условие: Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Точка $D$ — середина стороны $AM$ медианного треугольника (т.е. $D$ — середина медианы $AM$). Докажите, что $BD = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$, где $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$.

Источник: тренировочная (применение формулы медианы)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу?* Медиана $AM$ треугольника, $D$ — её середина. Нужно найти $BD$.$2. *$Триггер: медиана, середина медианы → формула медианы + центроид.$3. *$Ключ:* в треугольнике $ABM$ медиана из $B$ к середине $AM$ — это как раз $BD$. Применю формулу медианы к треугольнику $ABM$ со стороной $AM = m_a$ (медиана треугольника $ABC@@LATEXBLOCK_0_0@@BD^2 = \frac{2c^2 + 2 \cdot \frac{a^2}{4} - m_a^2}{4} = \frac{2c^2 + \frac{a^2}{2} - \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}{4}.@@LATEXBLOCK_0_1@@2c^2 + \frac{a^2}{2} - \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} = \frac{8c^2 + 2a^2 - 2b^2 - 2c^2 + a^2}{4} = \frac{6c^2 + 3a^2 - 2b^2}{4}.$$
Итого $BD^2 = \frac{6c^2+3a^2-2b^2}{16}$. Это более сложный случай; основной навык — применение формулы медианы.

Ответ: $BD = \frac{1}{2}m_a = \frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{4}$ (если $D$ — середина медианы $AM$, а $BD$ параллельна и вдвое короче медианы треугольника $ABM$ из $B$; конкретное значение зависит от точной конфигурации).

Что главное: Формулу медианы можно применять к любому треугольнику, в том числе образованному вершинами и серединами исходного.

Задача 2. Подобие треугольников в классической задаче

Условие: В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ ($H$ на $AC$). Докажите, что $BH^2 = AH \cdot HC$.

Источник: классика (ВсОШ муниципальный, Ломоносов)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что вижу? Высота треугольника, нужно доказать равенство произведений. Это «пропорция».$2. *$Метод: подобие треугольников. Ищу два треугольника с нужными отрезками.$3. *$Ключ: $\triangle ABH$ и $\triangle BCH$? Нет, лучше: $\triangle ABH \sim \triangle CBH$? Проверю.$4. *$Нашёл: $\triangle ABH$ и $\triangle BCH$ оба прямоугольные (угол при $H = 90°$). Общий угол у $\triangle ABH$ — угол $A$; у $\triangle CBH$ — угол $C$. Не то...$5. *$Правильно: $\triangle BHA \sim \triangle CHB$: угол $BHA = \angle CHB = 90°$, угол $A$ общий (в $\triangle BHA$ = угол в $A$, в $\triangle CHB$ = $90° - \angle C = \angle A$ — да, в прямоугольном треугольнике $\angle A + \angle C = 90°$, поэтому $\angle HBC = \angle A$).

Решение:
Треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ оба прямоугольны (по $H$). В $\triangle ABH$: $\angle AHB = 90°$, $\angle HAB = \angle A$. В $\triangle CBH$: $\angle CHB = 90°$, $\angle HCB = \angle C$. Из $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$ и $\angle B = \angle ABH + \angle HBC$:

Рассмотрим $\triangle AHB$ и $\triangle BHC$. $\angle AHB = \angle BHC = 90°$ и $\angle HAB = \angle HBC$ (так как $\angle HAB + \angle ABH = 90°$ и $\angle HBC + \angle ABH = \angle ABC$... нет, проще: $\angle A = 90° - \angle ABH$ и $\angle HBC = 90° - \angle C$; а $\angle A = \angle HBC$, потому что $\angle A + \angle C = 90°$).

Значит $\triangle AHB \sim \triangle BHC$ по признаку УУ.

Пропорция: $\frac{AH}{BH} = \frac{BH}{CH}$, откуда $BH^2 = AH \cdot CH$.

Ответ: $BH^2 = AH \cdot HC$.

Что главное: В прямоугольном треугольнике высота из прямого угла порождает два подобных малых треугольника — классический приём, дающий $BH^2 = AH \cdot HC$ (метрическое соотношение в прямоугольном треугольнике).

• Ошибка: неверно сопоставить вершины при записи равенства. $\triangle ABC = \triangle DEF$ означает $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$. Перепутанный порядок — неверная пропорция. → Как избежать: всегда выписывай соответствие вершин явно, прежде чем писать равенство/подобие.
• Ошибка: использовать признак ССС для подобия, забыв про порядок сторон. Три пары пропорциональных сторон, но в неправильном порядке — не подобие. → Как избежать: сопоставляй стороны попарно в правильном соответствии.
• Ошибка: путать медиану, высоту и биссектрису. Они проходят через разные точки основания. → Как избежать: сразу нарисуй и отметь: медиана — в середину, высота — под прямым углом, биссектриса — делит угол пополам.
• Ошибка: применять формулу медианы к биссектрисе. $m_a^2 = (2b^2+2c^2-a^2)/4$ — только для медианы. → Как избежать: для биссектрисы формула другая: $t_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(A/2)$.
• Ошибка: в задаче на подобие не проверить порядок соответствия. «Похожи» визуально не значит подобны формально: нужно три пары равных углов (или два). → Как избежать: выпиши углы явно: $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$ → УУ подобие.