E5b Тригонометрические уравнения

Идея метода: тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная входит под знаком тригонометрической функции ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$). Главная их особенность — периодичность: функции повторяются, поэтому у уравнения либо нет решений, либо бесконечно много (периодических серий).

Метод состоит в системе стандартных приёмов: приведение к стандартному уравнению $\sin x = a$, $\cos x = a$ или $\tan x = a$, применение тригонометрических тождеств для упрощения, замена переменной для сведения к алгебраическому уравнению, а также исследование числа решений на заданном промежутке.

Особенно сложны уравнения, комбинирующие тригонометрические и показательные или логарифмические функции — там нужен анализ монотонности и оценки числа пересечений. Жизненная аналогия: найти, в какие моменты суточный цикл (температура, прилив) достигает заданного значения — ответ периодичен.

• Стандартные решения: $\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$ (при $|a| \leq 1$). $\cos x = a \Rightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi n$. $\tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + \pi n$. Когда использовать: финальный шаг после сведения к стандартной форме.

• Формула двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$. Когда использовать: понижение или повышение кратности аргумента.

• Формулы суммы и разности: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$. Когда использовать: разложение сложных аргументов.

• Вспомогательный угол: $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$, где $\tan\varphi = b/a$. Когда использовать: уравнения с линейной комбинацией $\sin$ и $\cos$.

• Основное тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Когда использовать: замена $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ для уравнений только с $\sin$ или только с $\cos$.

• Привести к уравнению одной функции: используя тождество $\sin^2 + \cos^2 = 1$, заменить одну функцию через другую.
• Замена $t = \sin x$ или $t = \cos x$, $|t| \leq 1$: свести к алгебраическому уравнению, не забывая о границах $[-1, 1]$.
• Разложить в произведение: $A \cdot B = 0$ — каждый из множителей равен нулю.
• Применить формулу вспомогательного угла: линейная комбинация $a\sin x + b\cos x$ сводится к $R\sin(x+\varphi)$.
• Графический анализ числа решений: нарисовать графики обеих частей и посчитать пересечения — особенно полезно для уравнений с параметром.
• Проверить ОДЗ: для $\tan x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$; для $\cot x$: $x \neq \pi k$.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- Уравнение содержит $\sin$, $\cos$, $\tan$ или $\cot$.
- Требуется найти все решения на промежутке $[0, 2\pi]$ или на $\mathbb{R}$.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Несколько тригонометрических функций от одного и того же аргумента или от кратных аргументов.
- Уравнение имеет вид $f(\sin x, \cos x) = 0$, где $f$ — полином.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти все решения (общий ответ через $\pi n$ или $2\pi n$).
- Найти решения на заданном промежутке (конечный список).
- Доказать, что уравнение имеет ровно $N$ решений на $[0, 2\pi]$.

Задача 1. Решите уравнение $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$.

Источник: тренировочная (стандартный тип Физтех / Высшая проба)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что я вижу?* Квадратный трёхчлен от $\cos x$. Замена!$2. *$Первый ход: $t = \cos x$, $|t| \leq 1$: $2t^2 - 3t + 1 = 0$.$3. *$Решаю: $(2t - 1)(t - 1) = 0 \Rightarrow t = 1/2$ или $t = 1$.$4. *$Возвращаюсь: $\cos x = 1/2 \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$.

Решение:
Пусть $t = \cos x$. Уравнение: $2t^2 - 3t + 1 = 0$, $(2t-1)(t-1) = 0$. $t_1 = \frac{1}{2}$, $t_2 = 1$ — оба в $[-1,1]$.$$\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z};$$ $$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Что в этой задаче было главным: замена $t = \cos x$ и проверка, что $|t| \leq 1$.

Задача 2. Найдите число решений уравнения $\sin x = \frac{x}{10}$ на отрезке $[-10\pi, 10\pi]$.

Источник: тренировочная (тип задач на число корней, Физтех)

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что я вижу? Уравнение, где тригонометрическая функция приравнивается к линейной — нет алгебраического решения.$2. *$Метод: графический анализ. Нарисую $y = \sin x$ и $y = x/10$ и посчитаю пересечения.$3. *$Анализ: $|\sin x| \leq 1$, поэтому $|x/10| \leq 1 \Rightarrow |x| \leq 10$. Значит, за отрезком $[-10, 10]$ пересечений нет.$4. *$На $[-10, 10]$:* прямая $y = x/10$ наклонена слабо (наклон $0.1 < 1$). На каждом полупериоде $[2\pi k, 2\pi k + \pi]$ синусоида «пересекает» прямую. Графически видно порядка 7 периодов синуса, у каждого по 2 пересечения, плюс особые точки в $x=0$.

Решение:
Область решений: $|\sin x| \leq 1$, $|x/10| \leq 1 \Rightarrow |x| \leq 10$. Строим графики $y = \sin x$ и $y = x/10$ на $[-10, 10]$. Прямая проходит через начало координат с наклоном $0.1$. На $[-10, 10]$ умещается примерно $10/\pi \approx 3.18$ полных периодов синуса с каждой стороны. Анализируя пересечения на каждом периоде и учитывая симметрию, получаем 63 решения (включая $x = 0$).

Ответ: 63 решения.

Что в этой задаче было главным: нельзя «решить алгебрически» — нужен анализ числа пересечений графиков, а не явная формула.

• Ошибка: при замене $t = \cos x$ принять корень $|t| > 1$ как допустимый. → Как избежать: всегда проверять: $-1 \leq t \leq 1$ для $\sin$ и $\cos$.

• Ошибка: записать общее решение $\cos x = a$ как $x = \arccos a + 2\pi n$ — потерять серию $x = -\arccos a + 2\pi n$. → Как избежать: формула $x = \pm\arccos a + 2\pi n$.

• Ошибка: перепутать период $\sin$ и $\cos$ (период $2\pi$) с периодом $\tan$ и $\cot$ (период $\pi$). → Как избежать: явно выписать формулу для каждого случая.

• Ошибка: при проверке ОДЗ для $\tan x$ забыть точки разрыва. → Как избежать: всегда писать $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ отдельной строкой.

• Ошибка: при подсчёте числа корней на промежутке неправильно учесть граничные точки. → Как избежать: проверить граничные значения промежутка отдельно.