D1a Признаки делимости на 2,3,4,5,8,9,11

Идея метода: признаки делимости — это быстрые критерии, которые позволяют проверить делимость числа, записанного в десятичной системе, по его цифрам — без самого деления.

Почему они работают? Потому что десятичная запись числа $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0} = a_n \cdot 10^n + \ldots + a_1 \cdot 10 + a_0$. Остатки степеней 10 по разным модулям — простые паттерны: $10 \equiv 0 \pmod{2, 5}$; $10 \equiv 1 \pmod{9}$; $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Это и порождает все признаки.

Применяют признаки в задачах на восстановление цифр числа, подбор значений параметров, конструирование чисел с нужными свойствами.

• Делимость на 2 (и 5). $2 \mid N \Leftrightarrow 2 \mid a_0$ (последняя цифра чётна). $5 \mid N \Leftrightarrow a_0 \in \{0, 5\}$. Основание: $10^k \equiv 0 \pmod{2, 5}$ при $k \geq 1$.

• Делимость на 4 (и 8). $4 \mid N \Leftrightarrow 4 \mid \overline{a_1 a_0}$ (последние две цифры). $8 \mid N \Leftrightarrow 8 \mid \overline{a_2 a_1 a_0}$ (последние три$). *$Основание:* $100 = 4 \cdot 25$, $1000 = 8 \cdot 125$.

• Делимость на 3 (и 9). $3 \mid N \Leftrightarrow 3 \mid (a_0 + a_1 + \ldots + a_n)$ (сумма цифр). $9 \mid N \Leftrightarrow 9 \mid (a_0 + \ldots + a_n)$. Основание: $10 \equiv 1 \pmod{9}$, значит $10^k \equiv 1 \pmod{9}$.

• Делимость на 11. $11 \mid N \Leftrightarrow 11 \mid (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots)$ (знакочередующаяся сумма цифр$). *$Основание:* $10 \equiv -1 \pmod{11}$.

• Применить нужный признак напрямую. Выдели нужные цифры (последнюю, последние две, или все) и проверь условие.
• Восстановление цифры. Если цифра неизвестна, составь сравнение: сумма цифр $\equiv 0 \pmod{9}$ — найди недостающую цифру.
• Комбинирование признаков. Для делимости на $18 = 2 \cdot 9$: применить признаки делимости на 2 и на 9 одновременно.
• Доказательство признака «из первых принципов». Раздели $N$ на $a_n \cdot 10^n + \ldots$ и вычисли $N \pmod{m}$ через остатки степеней 10.
• Конструирование числа с нужными свойствами. Подбирай цифры по порядку, используя признаки для контроля делимости.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Число $N$ делится на 9», «последние две цифры числа делают его кратным 4».
- «Найдите все числа вида $\overline{abc}$, делящиеся на 3 и на 5».
- «Восстановите цифру $*$ в числе $3*7$, если оно делится на 9».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Задача явно упоминает цифры числа и делимость.
- Число задано «маской» с неизвестными цифрами.
- Нужно найти количество чисел в диапазоне, кратных нескольким числам.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Определить неизвестные цифры числа из условий делимости.
- Доказать признак делимости.
- Найти все числа с заданными цифровыми и делительными свойствами.

Задача 1. Найдите все трёхзначные числа вида $\overline{1a5}$, кратные 9.

Источник: тренировочная (базовый тип, олимпиада Ломоносова)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Что я вижу? Число вида $\overline{1a5}$ делится на 9. Признак делимости на 9: сумма цифр кратна 9.
2. Первый ход: сумма цифр $= 1 + a + 5 = 6 + a$. Нужно $9 \mid (6 + a)$.
3. Перебор: $a \in \{0,1,\ldots,9\}$. $6 + a \in \{6, 7, \ldots, 15\}$. Кратно 9: $6 + a = 9 \Rightarrow a = 3$. Или $6 + a = 18$ — невозможно $(max = 15).
4. **$Ответ:** $a = 3$, число $135$.

Решение:

Признак делимости на 9: $9 \mid (1 + a + 5)$, то есть $9 \mid (a + 6)$. Так как $a \in \{0, \ldots, 9\}$, единственное решение: $a + 6 = 9$, $a = 3$.

Ответ: $135$.

Что было главным: свести к условию на сумму цифр, затем перебрать.

Задача 2. Докажите признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11.

Источник: теоретическая задача (ВсОШ, школьный этап 7–8 класс)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Что я вижу? Нужно доказать признак, опираясь на десятичную запись.
2. Ключевая идея: $10 \equiv -1 \pmod{11}$, значит $10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$.
3. Запишем $N = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 10^k$. Тогда $N \equiv \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot (-1)^k \pmod{11}$ — это и есть знакочередующаяся сумма.

Решение:

Пусть $N = a_0 + 10 a_1 + 100 a_2 + \ldots + 10^n a_n$. Так как $10 \equiv -1 \pmod{11}$:$$N \equiv a_0 + (-1) a_1 + (-1)^2 a_2 + \ldots + (-1)^n a_n \equiv \sum_{k=0}^{n} (-1)^k a_k \pmod{11}.$$ Значит $11 \mid N \Leftrightarrow 11 \mid (a_0 - a_1 + a_2 - \ldots)$. $\square$

Ответ: признак доказан.

Что было главным: весь признак вытекает из одного факта $10 \equiv -1 \pmod{11}$.

• Ошибка: применять признак делимости на 9 к делению на 3 и считать, что сумма цифр должна делиться на 9. Почему неверно: для делимости на 3 достаточно делимости суммы цифр на 3. Как избежать: чётко различай: на 3 — сумма цифр делится на 3; на 9 — на 9.
• Ошибка: признак для 4: смотреть только на последнюю цифру. Почему неверно: $12$ делится на 4, $32$ тоже, но $22$ — нет, хотя последняя цифра чётная. Как избежать: для 4 смотри на последние две цифры.
• Ошибка: считать, что признаки делимости на 6, 12, 18 такие же простые. Почему неверно: для составных чисел признак — комбинация признаков делителей. Как избежать: раскладывай $m$ на взаимно простые множители и применяй признаки для каждого.
• Ошибка: при вычислении знакочередующейся суммы начинать с цифры в старшем разряде со знаком +. Почему неверно: стандарт — начинать с младшего разряда (единиц) со знаком +. Как избежать: запомни: $a_0 - a_1 + a_2 - \ldots$, где $a_0$ — цифра единиц.