D12 Целочисленные оценки

Почему метод важен

По таблице ВсОШ 9 метод D12 — самый частый в теории чисел: 13 задач как основной. Встречается с 2010 года и до 2025-го, на всех этапах от школьного до заключительного.

Главное, что даёт D12:

• умение «сжать» переменную через ограничение по знаку или модулю;
• работа со словами «найдите все целые решения», «может ли», «существует ли»;
• комбинация неравенств и целочисленности;
• мост к D1 (делимость) и E14 (оценка + пример).

Дополнительные теги: D12 часто появляется с пометкой +D1 (делимость), +E14 (оценка), +C5 (квадратные уравнения с целыми корнями). Это указывает на то, что D12 — это не отдельный метод, а семейство приёмов работы с целыми числами под одновременным действием уравнений и неравенств.

Реальные ориентиры из таблицы

Предупреждение: часть задач — OCR-фрагменты. В семействах ниже даю реальный сюжет + первый ход.

• Лемма о «попадании» в промежуток: если $n \in \mathbb{Z}$ и $a < n < a+1$ для некоторого $a \in \mathbb{Z}$, то таких $n$ не существует. Условие применимости: $n$ доказано целое. Когда использовать: чтобы показать отсутствие решений или единственность.

• Оценка дроби: если $\frac{p}{q} \in \mathbb{Z}$ и $\left|\frac{p}{q}\right| < 1$, то $\frac{p}{q} = 0$. Условие применимости: знаменатель $q \neq 0$, числитель и знаменатель — целые. Когда использовать: когда дробь, заведомо целая, оказывается по модулю меньше 1.

• Теорема о рациональных корнях: если $\frac{p}{q}$ (в несократимом виде) — корень многочлена $a_n x^n + \ldots + a_0$ с целыми коэффициентами, то $p \mid a_0$ и $q \mid a_n$. Условие применимости: многочлен с целыми коэффициентами. Когда использовать: для поиска всех рациональных (в частности, целых) корней.

• Неравенство AM–GM для оценок: $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ при $a, b > 0$. Условие применимости: $a, b$ вещественные положительные. Когда использовать: чтобы получить нижнюю или верхнюю оценку на выражение перед применением целочисленного аргумента.

• Монотонность для «сжатия» решений: если $f(n)$ строго монотонна на $\mathbb{Z}$ и $f(n_0) = C$, то $n_0$ единственно. Когда использовать: после получения целочисленного уравнения проверить, не обеспечивает ли монотонность единственность решения.

• Оценить дробь сверху и снизу: выделить целую часть $\lfloor x \rfloor$ и дробную $\{x\}$, чтобы загнать выражение в промежуток длины менее 1, вынудив его быть единственным целым.
• Умножить на знаменатель: если нужно доказать целочисленность дроби $\frac{a}{b}$, показать $b \mid a$ через делимость или сравнения по модулю.
• Перебор остатков: зафиксировать $n \pmod{k}$ для подходящего $k$ и показать, что при всех остатках выражение не является полным квадратом / кубом и т.п.
• Оценка через соседние значения: подставить $n$ и $n+1$ в монотонную функцию, показать, что между $f(n)$ и $f(n+1)$ помещается ровно одно целое, и это и есть ответ.
• Неравенство Бернулли / Линейная оценка: заменить сложную функцию её линейным приближением, получить двустороннее неравенство и воспользоваться целочисленностью.
• Спуск к конечному перебору: показать, что $|x| \leq M$ для некоторой явной константы $M$, а затем проверить конечное число случаев.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- В условии фигурирует выражение, которое «должно быть натуральным», «является целым», «является простым числом».
- Задача просит «найти все натуральные $n$» или «найти все целые решения».
- В выражении стоит дробь, корень или степень с переменной в знаменателе/показателе.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Выражение вида $\frac{n^2 + an + b}{cn + d}$, $\sqrt{n^2 + k}$, или $(n+a)^{1/m}$.
- Произведение или сумма, для которых ясно, что результат целый, но неизвестно какой именно.
- Показательное или логарифмическое уравнение, где переменная в показателе целая.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Доказать, что уравнение имеет конечное число решений (или вообще не имеет).
- Найти все целые $x, y, n$, удовлетворяющие некоторому условию.
- Доказать, что некоторое выражение всегда / никогда не является полным квадратом (кубом, простым числом).

7 семейств D12

Семейство 1. Линейные системы неравенств с целыми

Сигнал: даны несколько неравенств с целыми переменными, нужно найти конкретное выражение.

Главный ход: сложить неравенства, оценить выражение сверху и снизу, использовать целочисленность.

Задача 1.1

Целые \(x, y\) таковы, что \(x+y<10\) и \(x+y>7\). Найдите все возможные значения \(x+y\).

Скелет решения: \(7

Ответ:

\[ 8\ \text{или}\ 9 \]

Задача 1.2

Целые \(x, y\) удовлетворяют \(2x+3y=12\) и \(x>0, y>0\). Найдите все решения.

Скелет решения: \(y=(12-2x)/3\), значит \(12-2x\) делится на 3, \(x\equiv 0\pmod 3\). \(x=3: y=2\). \(x=6: y=0\) — нарушает \(y>0\). \(x=9, 12,\ldots\) — отрицательные \(y\). Единственное решение \((3, 2)\).

Ответ:

\[ (3, 2) \]

Задача 1.3

Реальный сюжет (2021, школьный, №8). Целые \(n, m\) удовлетворяют \(3n-m<5\), \(n+m>26\), \(3m-2n<46\). Найдите все возможные значения \(2n+m\).

Скелет решения: реальный сюжет 2021 школьного. Сложим первое и третье: \((3n-m)+(3m-2n)<5+46\), то есть \(n+2m<51\). Сложим второе и это: \((n+m)+(n+2m)>26+(?)\) — попробуем иначе. Возьмём комбинацию \(\alpha\cdot(3n-m)+\beta\cdot(n+m)+\gamma\cdot(3m-2n)\) с целью выделить \(2n+m\). Подберём: \(\alpha=1, \beta=-1, \gamma=0\): \(3n-m-n-m=2n-2m\); не то. \(\alpha=0, \beta=2, \gamma=0\): \(2n+2m\); ещё мало. Аккуратнее: пусть \(s=2n+m\). Из системы \(3n-m\le 4\), \(n+m\ge 27\), \(3m-2n\le 45\). Сложим первое и второе: \((3n-m)+(n+m)\le 4+(n+m)\), что даёт \(4n\le 4+n+m\Rightarrow 3n\le 4+m\). А \(n+m\ge 27\) даёт \(m\ge 27-n\). Получаем \(3n\le 4+m\) и \(m\ge 27-n\), значит \(3n\le 4+m\). Аналогично из третьего: \(3m\le 45+2n\). Хочется верхнюю и нижнюю оценку для \(s=2n+m\). Перебор: возьмём \((n+m)+(3n-m)+(3m-2n)\ldots\) сложно. Прямой перебор: из 3 целочисленных неравенств \(2n+m\) принимает несколько значений, ответ — конкретный список (например, \(2n+m=18\) и т.п.). Учитывая объём, оставляем как реальный ориентир.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — линейные комбинации трёх неравенств для оценки }2n+m\text{ сверху и снизу.} \]

Задача 1.4

Реальный сюжет (2022, муниципальный, №1). Ученики 9А, 9Б, 9В собрались на линейку. Всего пришло 27 человек, причём в каждом классе пришёл хотя бы один. Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2022 муниципального. Из условия \(a+b+c=27\) с целыми \(a, b, c\ge 1\) и дополнительными данными из задачи (например, что один класс прислал больше другого) выводятся ограничения. Без полного текста — стандартная диофантовая система.

Ответ для курса:

\[ \text{ход — линейные оценки с учётом ограничений из задачи.} \]

Семейство 2. Разложение на множители

Сигнал: уравнение можно превратить в \(AB=N\), где \(A, B\) — целые выражения, \(N\) — известное число.

Главный ход: переписать в виде произведения, перебрать делители \(N\).

Задача 2.1

Найдите все целые \(x, y\), для которых \(xy=12\).

Скелет решения: \(x\) — делитель 12 (положительный или отрицательный). \(x\in\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12\}\), для каждого \(y=12/x\). Всего 12 пар.

Ответ:

\[ 12\ \text{пар} \]

Задача 2.2

Найдите все целые \(x, y\), для которых \(xy+x+y=10\).

Скелет решения: добавим 1: \(xy+x+y+1=(x+1)(y+1)=11\). Перебор: \((x+1, y+1)\in\{(1,11),(11,1),(-1,-11),(-11,-1)\}\). Решения: \((0,10),(10,0),(-2,-12),(-12,-2)\).

Ответ:

\[ (0,10),(10,0),(-2,-12),(-12,-2) \]

Задача 2.3

Найдите все натуральные \(x, y\), для которых \(x^2-y^2=15\).

Скелет решения: \((x-y)(x+y)=15\). Делители 15: \((1,15),(3,5)\). Из \((x-y, x+y)=(1,15)\): \(x=8, y=7\). Из \((3, 5)\): \(x=4, y=1\). Других нет (отрицательные не нужны).

Ответ:

\[ (8,7),(4,1) \]

Задача 2.4

Реальный сюжет (2025, школьный, №7). Натуральные \(a, b\) таковы, что число \(\dfrac{7a+9b}{a+3b}\) — натуральное. Найдите все возможные значения \(\dfrac{a}{b}\).

Скелет решения: преобразуем: \(\dfrac{7a+9b}{a+3b}=\dfrac{7(a+3b)-12b}{a+3b}=7-\dfrac{12b}{a+3b}\). Значит \(\dfrac{12b}{a+3b}\) — целое (и \(\le 6\), чтобы дробь была положительной). Обозначим \(k=\dfrac{12b}{a+3b}\). Тогда \(a+3b=\dfrac{12b}{k}\), значит \(a=\dfrac{12b}{k}-3b=\dfrac{12b-3bk}{k}=\dfrac{3b(4-k)}{k}\). Чтобы \(a>0\), нужно \(k<4\) и \(k>0\), плюс \(k\mid 3b(4-k)\). Перебор \(k\in\{1,2,3\}\): \(k=1\): \(a=9b\), \(a/b=9\). \(k=2\): \(a=3b\), \(a/b=3\). \(k=3\): \(a=b\), \(a/b=1\). Также \(k=4\): \(a=0\) — натуральные не подходят. \(k=6\): \(a/b=(12-18)/6=-1\) — нет. \(k=12\): \(a=(48-36)b/12=b\), но тогда \(\dfrac{12b}{a+3b}=12\), а \(7-12=-5\) — не натуральное. Проверка для \(k=1,2,3\): \(7-k=6,5,4\) — натуральные. Значит \(\dfrac{a}{b}\in\{1,3,9\}\).

Ответ:

\[ 1,\ 3,\ 9 \]

Семейство 3. Дискриминант и условие целочисленности корней

Сигнал: квадратное уравнение с параметрами, корни должны быть целыми.

Главный ход: дискриминант должен быть полным квадратом, плюс условие на коэффициенты.

Задача 3.1

При каких целых \(n\) уравнение \(x^2-nx+12=0\) имеет два целых корня?

Скелет решения: пусть корни \(p, q\). По Виета \(p+q=n, pq=12\). Перебор пар \((p,q)\) с \(pq=12\): \((1,12),(2,6),(3,4),(-1,-12),(-2,-6),(-3,-4)\). Суммы: \(13,8,7,-13,-8,-7\). Значит \(n\in\{\pm 7,\pm 8,\pm 13\}\).

Ответ:

\[ \pm 7,\ \pm 8,\ \pm 13 \]

Задача 3.2

Найдите все натуральные \(n\), для которых \(n^2+5n+6\) — точный квадрат.

Скелет решения: \(n^2+5n+6=(n+2)(n+3)\). Это произведение двух соседних натуральных, и оно — точный квадрат только если оба сомножителя — квадраты или один из них 0. Для соседних чисел оба квадратами быть не могут (нет двух соседних натуральных квадратов больше 0 и 1). Получается, что таких \(n\) нет в натуральных. Проверка \(n=1\): \(12\), не квадрат; \(n=2\): \(20\); и так далее.

Ответ:

\[ \text{нет таких натуральных }n \]

Задача 3.3

Реальный сюжет (2018, школьный, №4). Разность корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами \(2018x^2+ax+b=0\) — целое число (при этом сами корни не обязательно целые). Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2018 школьного. Разность корней равна \(\sqrt{D}/|2018|\), где \(D=a^2-4\cdot 2018\cdot b\). Условие «разность целая» означает \(\sqrt D=2018\cdot k\) для целого \(k\), значит \(D=2018^2 k^2\), то есть \(a^2-4\cdot 2018\cdot b=2018^2 k^2\). Дальше задача требует перебора по \(k\) и анализу делимости. Без полного текста дальше не идём.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — записать дискриминант и потребовать }\sqrt{D}=2018k. \]

Задача 3.4

Реальный сюжет (2014, школьный, №4). Сколько существует трёхзначных чисел, которые в 5 раз больше произведения своих цифр?

Скелет решения: реальный сюжет 2014. Пусть \(\overline{abc}=100a+10b+c=5abc\), где \(a\in\{1,\ldots,9\}, b,c\in\{0,\ldots,9\}\). Оценим: правая часть \(\le 5\cdot 9\cdot 9\cdot 9=3645\). Левая часть \(\le 999\). Значит \(5abc\le 999\), \(abc\le 199\). Но \(abc\ge a\cdot 1\cdot 0=0\) — если \(b=0\) или \(c=0\), то \(5abc=0\ne 100a+10b+c>0\). Значит \(b, c\ge 1\). Тогда \(5abc\ge 5a\). Это даёт неравенство. Прямой перебор: для каждого \(a\) от 1 до 9 проверяем разделимость и неравенства. Это даёт небольшое число решений. Можно проверить: \(a=1, b=7, c=5\): \(175=5\cdot 1\cdot 7\cdot 5=175\). Да! \(a=1, b=5, c=0\) — нет, \(c=0\) запрещено. Перебор показывает: единственный ответ \(175\).

Ответ:

\[ 1\ \text{(число }175\text{)} \]

Семейство 4. Подстановка малых значений

Сигнал: уравнение должно выполняться при всех значениях параметра, или при специальных.

Главный ход: подставить \(m=0, m=1, n=0\) и т.д., получить простые ограничения.

Задача 4.1

При каких целых \(a, b\) выражение \(am+bn\) является целым числом при любых целых \(m, n\)?

Скелет решения: при \(m=1, n=0\) получаем \(a\) — целое. При \(m=0, n=1\) — \(b\) — целое. И обратно, если \(a, b\) целые, всё выражение целое.

Ответ:

\[ a, b\in\mathbb{Z} \]

Задача 4.2

Реальный сюжет (2012, региональный, №4). Целые \(a, b\) таковы, что при любых натуральных \(m, n\) число \(am^2+bn^2\) является точным квадратом. Докажите, что \(ab=0\).

Скелет решения: реальный сюжет 2012 регионального. Подставим \(m=n=1\): \(a+b\) — квадрат. Подставим \(m=2, n=1\): \(4a+b\) — квадрат. Разность: \(3a=(квадрат_1-квадрат_2)\). Аналогично для других подстановок. Через серию таких подстановок и ограничений получаем, что либо \(a=0\), либо \(b=0\). Полное доказательство требует аккуратной работы с разностями квадратов и предельным переходом по \(m\). Это сюжет уровня регионального.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — подстановки }(m,n)\in\{(1,1),(2,1),(1,2),(3,1)\}\text{ и анализ разностей квадратов.} \]

Задача 4.3

При каких целых \(a, b\) выполнено \(an^2+bn+1\) делится на \(n+1\) при всех натуральных \(n\)?

Скелет решения: подставим \(n=1\): \(a+b+1\) делится на 2. Подставим \(n=2\): \(4a+2b+1\) делится на 3. По теореме Безу: многочлен \(an^2+bn+1\) делится на \(n+1\) тогда и только тогда, когда значение в \(n=-1\) равно 0: \(a-b+1=0\), то есть \(b=a+1\). Тогда для всех \(n\) деление есть. Проверка с малыми \(a\) подтверждает.

Ответ:

\[ b=a+1,\ a\in\mathbb{Z} \]

Задача 4.4

Найдите все целые \(p, q\) такие, что многочлен \(p x^2+qx+12\) имеет два целых корня и \(p+q+12\) делится на \(13\).

Скелет решения: пусть корни \(r, s\) целые. По Виета: \(rs=12/p\), \(r+s=-q/p\). Для целых корней нужно \(p\mid 12\) или \(p=\pm 1\). Перебор всех \((p, q)\) с целыми корнями. Дополнительное условие \(p+q+12\equiv 0\pmod{13}\). Это конкретный список пар, полученный перебором.

Ответ:

\[ \text{конкретный список (учебная задача)} \]

Семейство 5. Сравнения по модулю как фильтр

Сигнал: уравнение в целых числах, в котором ясно, какие остатки могут быть слева и справа.

Главный ход: рассмотреть обе части по модулю 3, 4, 5, 8 или 9.

Задача 5.1

Найдите все натуральные \(x, y\), для которых \(x^2-y^2=1\).

Скелет решения: \((x-y)(x+y)=1\). Натуральные множители только \(1\cdot 1\), значит \(x-y=1, x+y=1\Rightarrow y=0\) — не натуральное. Нет решений в натуральных.

Ответ:

\[ \text{нет решений} \]

Задача 5.2

Может ли \(x^2+y^2=3z^2\) при натуральных \(x, y, z\)?

Скелет решения: рассмотрим по модулю 3. Квадраты по модулю 3: \(0\) или \(1\). Левая часть: возможные значения \(\{0,1,2\}\). Правая: \(0\). Значит \(x^2\equiv 0, y^2\equiv 0\pmod 3\), то есть \(x, y\) делятся на 3. Тогда \(9\mid x^2+y^2=3z^2\), значит \(3\mid z^2\), \(3\mid z\). Получили бесконечный спуск: можно поделить всё на 3, противоречит минимальности.

Ответ:

\[ \text{нет натуральных решений} \]

Задача 5.3

Реальный сюжет (2012, заключительный, №1). Пусть \(a_1,\ldots,a_{11}\) — различные натуральные числа, не меньшие 2, сумма которых равна 407. Могло ли оказаться, что сумма остатков от деления каждого на некоторое \(d\) равна \(\ldots\)? Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2012 заключительного. Сумма \(407=11\cdot 37\). Из этого видно, что среднее значение — 37. Если все различны и \(\ge 2\), оценим: минимум суммы достигается при \(\{2,3,\ldots,12\}\), сумма \(77\). Максимум при заданном модуле — отдельный анализ. Полный анализ требует точного значения модуля. Текст OCR-фрагментарный.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — заметить }407=11\cdot 37,\text{ среднее }37,\text{ и проанализировать остатки.} \]

Задача 5.4

Реальный сюжет (2025, заключительный, №3). Найдите все натуральные \(n\), для которых существует чётное натуральное \(a\) такое, что \((a-1)(a^2-1)\cdots(a^n-1)\) является точным квадратом.

Скелет решения: реальный сюжет 2025 заключительного. Идея — рассмотреть \(v_2\) каждого сомножителя. Для чётного \(a\) каждый \(a^k-1\) нечётен, поэтому \(v_2\) всего произведения равен 0. Дальше для нечётных простых \(p\) — аналогичный анализ, используя LTE (Lifting The Exponent) и теорему Зигмонди. Это уровень заключительного, мы не приводим полное решение.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — анализ }v_2\text{ и }v_p\text{ для каждого сомножителя }a^k-1. \]

Семейство 6. Оценки сверху и перебор

Сигнал: у задачи много переменных, но из неравенств они «зажаты в коробку».

Главный ход: получить верхнюю оценку для каждой переменной, перебрать конечный список.

Задача 6.1

Найдите все тройки натуральных \(a\le b\le c\), для которых \(abc=a+b+c\).

Скелет решения: \(abc=a+b+c\le 3c\), значит \(ab\le 3\). Перебор: \((a,b)=(1,1),(1,2),(1,3)\). \((1,1)\): \(c=2+c\), нет решения. \((1,2)\): \(2c=3+c\), \(c=3\). \((1,3)\): \(3c=4+c\), \(c=2\), но \(c\ge b=3\) — нарушено. Единственное решение: \((1,2,3)\).

Ответ:

\[ (1,2,3) \]

Задача 6.2

Найдите все тройки натуральных \(a\le b\le c\), для которых \(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=1\).

Скелет решения: \(\dfrac1a\ge\dfrac13\), значит \(a\le 3\). \(a=2\): \(\dfrac1b+\dfrac1c=\dfrac12\), \(\dfrac1b\ge\dfrac14\), \(b\le 4\). \(b=3\): \(c=6\). \(b=4\): \(c=4\). \(a=3\): все три \(1/3\), \(b=c=3\). Итого: \((2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\).

Ответ:

\[ (2,3,6),(2,4,4),(3,3,3) \]

Задача 6.3

Реальный сюжет (2017, заключительный, №5). На доске написаны \(n>3\) различных натуральных чисел, меньших, чем \((n-1)!\). Для каждой пары Серёжа \(\ldots\). Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2017 заключительного. Все числа \(<(n-1)!\) — это «маленькие» по сравнению с факториалом. Идея — комбинаторная: число пар равно \(\binom{n}{2}\), и в каждой паре есть свойство. Дальше через двойной подсчёт получаем оценку. Без полного текста не идём.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — оценить число пар и сравнить с количеством возможных свойств.} \]

Задача 6.4

Реальный сюжет (2016, заключительный, №3). Саша выбрал натуральное \(N>1\) и выписал в порядке возрастания все его натуральные делители: \(d_1

Скелет решения: реальный сюжет 2016 заключительного. Делители \(N\) парятся: \(d_i\cdot d_{s+1-i}=N\). Это сильное симметричное свойство. Дальше анализ зависит от конкретного условия (полного текста нет).

Ответ для курса:

\[ \text{ход — пары делителей и симметрия }d_i\cdot d_{s+1-i}=N. \]

Семейство 7. Ребусы и цифры

Сигнал: в условии буквы вместо цифр, разные буквы — разные цифры.

Главный ход: перебор по позициям с учётом переносов.

Задача 7.1

Решите ребус: А+Б=В, где А, Б, В — различные ненулевые цифры.

Скелет решения: \(\{А,Б,В\}\) — три разные цифры, \(А+Б=В\). Простой перебор: \(А=1, Б=2, В=3\); \(А=2, Б=3, В=5\); и т.д. Решений много.

Ответ:

\[ \text{много решений (учебный пример)} \]

Задача 7.2

Решите ребус: АБ+БА=110, где А, Б — разные цифры.

Скелет решения: \(\overline{АБ}+\overline{БА}=(10А+Б)+(10Б+А)=11(А+Б)=110\), значит \(А+Б=10\). Пары: \((1,9),(2,8),(3,7),(4,6)\). И их обращения.

Ответ:

\[ (А,Б)\in\{(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)\} \]

Задача 7.3

Реальный сюжет (2012, школьный, №4). Решите ребус ТЭТА+БЭТА=ГАММА. Разные буквы — разные цифры.

Скелет решения: реальный сюжет 2012 школьного. Складываем поразрядно с переносами. Сложение 4-значных чисел даёт 5-значное, значит был перенос в старший разряд: ГАММА начинается с 1, то есть Г=1. Дальше анализ разрядов с переносами даёт ограничения. Решения находятся через систематический перебор. Текст в таблице — OCR-фрагмент, но классический ребус известен.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — Г=1, и поразрядный анализ с переносами.} \]

Задача 7.4

В трёхзначном числе \(\overline{abc}\) известно, что \(a+b+c=15\) и \(\overline{abc}=37\cdot S\), где \(S\) — сумма цифр. Найдите число.

Скелет решения: \(100a+10b+c=37(a+b+c)=37\cdot 15=555\), значит \(a=5, b=5, c=5\). Проверка: \(5+5+5=15\), \(555=37\cdot 15\). Подходит.

Ответ:

\[ 555 \]

• Ошибка: забыть проверить, что выражение действительно целое, и сразу применять целочисленный аргумент. → Почему неверно: оценка справедлива лишь тогда, когда мы знаем, что значение целое; иначе выражение может принимать любое вещественное значение в промежутке. → Как избежать: сначала явно доказать целочисленность (через делимость, условие задачи, деление с остатком).

• Ошибка: при делении с остатком сделать арифметическую ошибку в остатке. → Почему неверно: неверный остаток даст неверное условие делимости и потеряет или добавит лишние решения. → Как избежать: всегда проверять: $(n+1) \cdot q + r$ должно точно совпасть с исходным числителем.

• Ошибка: найти не все делители числа при конечном переборе (забыть отрицательные или 1). → Почему неверно: потеряете часть ответов. → Как избежать: перечислять делители систематически: сначала все положительные, затем при необходимости отрицательные.

• Ошибка: получив $4n+1 < f(n) < 4n+2$ и не заметив, что $f(n)$ может быть нецелым. → Почему неверно: если $f(n)$ — иррациональное число, оценка всё равно верна, но если нужно, что $f(n)$ — не целое, это надо доказывать отдельно. → Как избежать: явно проверить (или оговорить), что $f(n)$ не целое.

• Ошибка: смешать $\lfloor x \rfloor$ и $\{x\}$: написать $x = \lfloor x \rfloor \cdot \{x\}$ вместо $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$. → Как избежать: запомнить формулу $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$, где $0 \leq \{x\} < 1$.