C8 Целая и дробная часть

Идея метода: любое вещественное число $x$ можно однозначно разложить в сумму $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть (наибольшее целое, не превосходящее $x$) и $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ — дробная часть, $0 \leq \{x\} < 1$.

Это разложение превращает вещественное в пару «целое + малое». Задачи с $\lfloor x \rfloor$ и $\{x\}$ обычно требуют анализа случаев или нахождения таких $x$, при которых дробная часть попадает в нужный диапазон.

Главный приём: обозначь $\lfloor x \rfloor = n$, $\{x\} = \alpha$, $0 \leq \alpha < 1$. Перепиши уравнение в виде системы на $(n, \alpha)$. Целая часть — дискретный параметр, дробная — непрерывная переменная в $[0,1)$. Часто одна из компонент фиксируется из уравнения, а другая свободна или ограничена.

Это похоже на работу с делением с остатком в целых числах, только теперь «остаток» — вещественное число в $[0,1)$.

• Определение. $\lfloor x \rfloor$ — единственное целое $n$, такое что $n \leq x < n+1$. $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \in [0, 1)$. Условие: $x \in \mathbb{R}$. Когда использовать: всегда при работе с $\lfloor x \rfloor$ — это исходная точка.

• Тождество: $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$. Когда использовать: для замены переменных $n = \lfloor x \rfloor$, $\alpha = \{x\}$.

• Формула Лежандра (показатель простого в факториале). $v_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor n/p^k \rfloor$. Условие: $p$ — простое. Когда использовать: в задачах на делимость факториалов.

• Неравенство. $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$. Когда использовать: при оценках и неравенствах с $\lfloor \cdot \rfloor$.

• Формула для количества кратных. Количество натуральных чисел от 1 до $n$, кратных $k$, равно $\lfloor n/k \rfloor$. Когда использовать: в комбинаторных задачах на подсчёт.

• Замена $n = \lfloor x \rfloor, \alpha = \{x\}$. Обозначь целую и дробную часть буквами, перепиши уравнение — разделяй целую и дробную составляющие.
• Разбор случаев по значению $n$. Фиксируй $n$ и исследуй, при каких $\alpha \in [0, 1)$ уравнение выполняется.
• Использование $\lfloor \lfloor x/a \rfloor / b \rfloor = \lfloor x/(ab) \rfloor$. Упрощение вложенных целых частей.
• Оценка дробной части. Если $\{x\} = $ конкретному значению — это условие на $x \pmod{1}$, то есть $x = n + $ const.
• Анализ чётности. Если из уравнения $\lfloor x \rfloor = $ выражение, которое зависит от $\alpha$, требуй, чтобы выражение было целым.
• Разбор знака. При $x < 0$: $\lfloor -2.3 \rfloor = -3$, не $-2$ — типичная ошибка; всегда рисуй числовую прямую.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- Используется символ $\lfloor x \rfloor$ или «целая часть числа $x$».
- «Дробная часть $\{x\}$», «скобки Гаусса».
- Задача просит найти $x$, при котором дробная (целая) часть некоторого выражения равна заданному числу.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Уравнение содержит $\lfloor f(x) \rfloor$ или $\{f(x)\}$ вместе с самим $f(x)$.
- Смесь целых и вещественных операций в одном выражении.
- Нужно найти количество натуральных чисел в промежутке, кратных нескольким делителям.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Решить уравнение вида $\lfloor f(x) \rfloor = g(x)$ или $\{f(x)\} = c$.
- Доказать, что $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ удовлетворяет некоторому свойству.
- Подсчитать количество целых точек в некоторой области.

Задача 1. Решите уравнение $\lfloor x^2 \rfloor = \lfloor x \rfloor^2$.

Источник: тренировочная (распространённый тип задач ВсОШ)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Что я вижу? Уравнение с целыми частями. Обозначу $n = \lfloor x \rfloor$, $\alpha = \{x\}$, тогда $x = n + \alpha$.
2. Что нужно? $\lfloor (n + \alpha)^2 \rfloor = n^2$.
3. $(n + \alpha)^2 = n^2 + 2n\alpha + \alpha^2$. Нужно $\lfloor n^2 + 2n\alpha + \alpha^2 \rfloor = n^2$, то есть $\lfloor 2n\alpha + \alpha^2 \rfloor = 0$.
4. Это значит $0 \leq 2n\alpha + \alpha^2 < 1$.

Решение:

Пусть $n = \lfloor x \rfloor \geq 0$ (случай $n < 0$ симметричен). При $\alpha = 0$: $x$ целое, условие $0 = 0$ выполнено.

При $\alpha > 0$ и $n \geq 0$: нужно $2n\alpha + \alpha^2 < 1$, то есть $\alpha(2n + \alpha) < 1$.

• Если $n = 0$: $\alpha^2 < 1 \Rightarrow \alpha < 1$ — это всегда выполнено. Итого: $x \in [0, 1)$.
• Если $n = 1$: $\alpha(2 + \alpha) < 1 \Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha - 1 < 0 \Rightarrow \alpha < \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$. Итого: $x \in [1, 1 + (\sqrt{2}-1)) = [1, \sqrt{2})$.
• Если $n \geq 2$: $2n\alpha \geq 4\alpha$. При $\alpha > 0$: $\alpha(2n + \alpha) \geq \alpha \cdot 4 > 0$, но нужно $< 1$. Значит $\alpha < \frac{1}{2n}$. Итого: $x \in [n, n + \frac{1}{2n})$ при каждом $n \geq 2$.

Аналогично для $n < 0$: при $n = -1$ и $n \leq -2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup$ аналогичные интервалы слева и $[0, 1) \cup [1, \sqrt{2}) \cup$ и т.д. — бесчисленно много интервалов, описанных выше.

Что было главным: замена $x = n + \alpha$ сразу разделила задачу на дискретный (перебор $n$) и непрерывный ($\alpha \in [0,1)$) уровни.

Задача 2. Докажите, что $\lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor$ для всех натуральных $n$.

Источник: тренировочная (классическая Олимпиадная лемма)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Что я вижу? Нужно доказать равенство двух целых частей. Метод: доказать, что обе части равны одному и тому же целому $m$.
2. Идея: если $m^2 \leq 4n + 2 < (m+1)^2$ и $m \leq \sqrt{n} + \sqrt{n+1} < m+1$, то обе целые части равны $m$.
3. Ключевой факт: $(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})^2 = 2n + 1 + 2\sqrt{n(n+1)}$. Заметим, что $\sqrt{n(n+1)} < n + \frac{1}{2}$ (так как $n(n+1) < (n+\frac{1}{2})^2 = n^2 + n + \frac{1}{4}$). Значит $(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})^2 < 4n+2$. Также $(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})^2 > 4n+1 > 4n$. Таким образом $\sqrt{4n} < \sqrt{n}+\sqrt{n+1} < \sqrt{4n+2}$.

Решение:

Обозначим $S = \sqrt{n} + \sqrt{n+1}$, $T = \sqrt{4n+2}$.

Покажем $\lfloor S \rfloor = \lfloor T \rfloor$, то есть не существует целого $m$ между $S$ и $T$ (включительно).

$S^2 = 2n+1+2\sqrt{n^2+n}$. Так как $n < \sqrt{n^2+n} < n + \frac{1}{2}$, получаем $4n+1 < S^2 < 4n+2$.

Тогда $\sqrt{4n+1} < S < \sqrt{4n+2} = T$.

Между $S$ и $T$ нет целого числа (оба лежат в интервале $(\sqrt{4n+1}, \sqrt{4n+2})$), значит $\lfloor S \rfloor = \lfloor T \rfloor$. $\square$

Ответ: доказано.

Что было главным: сравнение квадратов вместо корней — ключевой трюк при работе с $\lfloor \sqrt{\cdot} \rfloor$.

• Ошибка: $\lfloor -2.3 \rfloor = -2$. Почему неверно: $\lfloor x \rfloor$ — наибольшее целое не превосходящее $x$, то есть $\lfloor -2.3 \rfloor = -3$. Как избежать: рисуй числовую прямую и ищи ближайшее целое слева$.
• **$Ошибка:** считать, что $\lfloor x + y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$. **Почему неверно:** правая часть может быть на 1 меньше. **Как избежать:** помни: $\lfloor x + y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor {x} + {y} \rfloor$, где последний флор равен 0 или 1.
• Ошибка: $\lfloor x/n \rfloor = \lfloor x \rfloor / n$ при целом $n$. Почему неверно: деление не коммутирует с целой частью. Как избежать: всегда вычисляй отдельно.
• Ошибка: забыть, что $\{x\} \in [0, 1)$ строго, а не $[0, 1]$. Почему неверно: $\{x\} = 1$ невозможно — это уже следующее целое. Как избежать: при написании условий пиши строгое неравенство справа.
• Ошибка: не учитывать случай $x < 0$ отдельно. Почему неверно: целая часть отрицательных чисел ведёт себя иначе, чем «обрезание дроби». Как избежать: всегда проверяй отрицательные $n$ при разборе случаев.