C7 Функциональные уравнения

Идея метода: в функциональном уравнении неизвестна не переменная, а сама функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (или $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$). Условие задачи — тождество, которое $f$ обязана выполнять при всех допустимых значениях аргументов. Задача: найти все такие функции (или доказать, что их нет).

Основной инструмент — подстановки специальных значений. Поскольку тождество выполняется для всех $x, y$, мы можем выбирать $x$ и $y$ произвольно. Умный выбор ($x = 0$, $y = 0$, $x = y$, $y = -x$, $x = 1$ и т.д.) позволяет извлекать конкретные соотношения: значение $f(0)$, значение $f(1)$, свойства чётности/нечётности.

После нескольких подстановок обычно получается гипотеза вида «$f$ линейна» или «$f \equiv c$». Затем нужно доказать эту гипотезу, подставив найденный вид обратно в уравнение.

Это похоже на расследование: у вас есть уравнение-улика, и каждая умная подстановка — новая улика, которая сужает круг подозреваемых функций. Метод требует аккуратного ведения «дела»: что мы уже знаем о $f$, что ещё нет.

• Уравнение Коши. Если $f(x + y) = f(x) + f(y)$ для всех $x, y \in \mathbb{R}$ и $f$ монотонна (или измерима), то $f(x) = cx$. Условие: без регулярности могут быть патологические решения. Когда использовать: уравнение аддитивно; в олимпийских задачах обычно добавляют «$f$ непрерывна» или задача над $\mathbb{Q}$.

• Принцип подстановки. Тождество $f(g(x,y)) = h(f(x), f(y))$ выполняется для всех $x, y$, поэтому подстановка любых конкретных значений даёт верное равенство. Условие: тождество, а не просто уравнение. Когда использовать: как первый шаг в любом функциональном уравнении.

• Инъективность и сюръективность. Если из $f(a) = f(b)$ можно вывести $a = b$ (инъективность), это позволяет «сокращать» $f$ с обеих сторон. Когда использовать: когда в уравнении $f$ встречается дважды с разными аргументами.

• Нечётность/чётность. Подстановка $x \to -x$ или $y \to -x$ часто выявляет, чётная ли функция или нечётная. Когда использовать: когда уравнение содержит $f(-x)$ или симметрично по знаку.

• Подстановка $x = 0, y = 0$. Находим $f(0)$ или связь $f(0)$ с другими значениями — почти всегда первый шаг.
• Подстановка $y = 0$ (или $x = 0$ по отдельности). Получаем соотношение вида $f(x) = g(f(x), f(0))$ — упрощаем уравнение.
• Подстановка $y = -x$. Получаем связь $f(0)$ с $f(x)$ и $f(-x)$; выясняем чётность/нечётность.
• Подстановка $x = y$. Получаем уравнение на $f(2x)$ через $f(x)$; используем для нахождения $f$ в рациональных точках.
• Подстановка $y = 1$ или $x = 1$. Если уравнение мультипликативное, часто фиксирует $f(1)$ и позволяет вычислить $f$ на натуральных числах.
• Доказательство инъективности. Из двух разных подстановок получи $f(a) = f(b)$ и докажи $a = b$ — тогда можно сокращать.
• Финальная верификация. После получения гипотезы об $f$ подставь её обратно в исходное уравнение и убедись, что тождество выполняется.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Найдите все функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, такие что...»
- «Для всех $x, y \in \mathbb{R}$ выполняется $f(x + y) = ...$» или «$f(xy) = ...$»
- «Докажите, что не существует функции, удовлетворяющей...»

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Уравнение содержит $f$ от нескольких аргументов: $f(x+y)$, $f(xy)$, $f(x-y)$.
- Неизвестна функция, а не число.
- Условие «для всех $x, y$» или «для всех $x \in \mathbb{R}$».

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти все функции, удовлетворяющие данному тождеству.
- Доказать, что единственная функция — константа, линейная или нулевая.
- Показать, что решений нет.

Задача 1. Найдите все функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, для которых для всех $x, y \in \mathbb{R}$:

$f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy.$

Источник: тренировочная (классическое олимпиадное функциональное уравнение, стиль ВсОШ заключ.)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Что я вижу? Тождество для $f(x+y)$ через $f(x), f(y)$ и член $2xy$. Напоминает уравнение Коши, но с поправкой.
2. Какой метод? Функциональное уравнение — начинаю с подстановок.
3. Шаг 1: $x = 0, y = 0$. $f(0) = f(0) + f(0) + 0 \Rightarrow f(0) = 0$.
4. Шаг 2: $y = 0$. $f(x) = f(x) + f(0) + 0 = f(x)$ — тривиально, ничего нового.
5. Шаг 3: $y = -x$. $f(0) = f(x) + f(-x) - 2x^2 \Rightarrow 0 = f(x) + f(-x) - 2x^2$, то есть $f(-x) = 2x^2 - f(x)$.
6. Гипотеза: попробуем $f(x) = x^2 + cx$ для некоторой константы $c$. Проверка: $f(x+y) = (x+y)^2 + c(x+y) = x^2 + 2xy + y^2 + cx + cy$. Правая часть: $f(x) + f(y) + 2xy = x^2 + cx + y^2 + cy + 2xy$. Совпадает при любом $c$!
7. Единственность: обозначим $g(x) = f(x) - x^2$. Тогда уравнение превращается в $g(x+y) = g(x) + g(y)$ — уравнение Коши. Если задача на $\mathbb{R}$ без доп. условий — решения Коши — это $g(x) = cx$. Если допускать только «приличные» (непрерывные/монотонные) решения, $g(x) = cx$.

Решение:

Полагаем $g(x) = f(x) - x^2$. Подстановка:$$g(x+y) + (x+y)^2 = g(x) + x^2 + g(y) + y^2 + 2xy$$ $g(x+y) = g(x) + g(y).$ Это уравнение Коши, и при условии непрерывности $g(x) = cx$, $c \in \mathbb{R}$.

$$\boxed{f(x) = x^2 + cx, \quad c \in \mathbb{R}}$$

Ответ: $f(x) = x^2 + cx$ для произвольной постоянной $c$.

Что было главным: подстановка $x = y = 0$ даёт $f(0)$; «замена» $g = f - x^2$ сводит уравнение к классическому. Умение распознать уравнение Коши внутри модифицированного — ключевой навык.

Задача 2. Найдите все функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, такие что для всех $x, y \in \mathbb{R}$:

$f(f(x) + y) = 2x + f(f(y) - x).$

Источник: тренировочная (стиль заключительного ВсОШ 10–11 класс)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Что я вижу? $f$ встречается дважды внутри $f$; аргументы сложные. Начинаю с $x = 0$ и $y = 0$.
2. $x = 0, y = 0$: $f(f(0)) = f(f(0))$ — тавтология.
3. $y = 0$: $f(f(x)) = 2x + f(f(0) - x)$. Обозначим $c = f(0)$: $f(f(x)) = 2x + f(c - x)$. *(Уравнение $A) \cdot 4. **@@LATEXBLOCK_0_2@@\boxed{f(x) = x + d, \quad d \in \mathbb{R}}$$

Ответ: все функции вида $f(x) = x + d$, $d$ — произвольная константа.

Что было главным: грамотная последовательность подстановок ($x=0$, $y=0$, $x=y$) постепенно сужает класс функций до линейных с наклоном 1; финальная проверка убеждает, что все они работают.

• Ошибка: доказать существование одного решения и остановиться, не показав единственность. Почему неверно: могут быть другие функции. Как избежать: всегда явно аргументируй, что других решений нет (инъективность, уравнение Коши и т.д.).
• Ошибка: не проверять найденную функцию подстановкой обратно в исходное уравнение. Почему неверно: из цепочки подстановок можно вывести необходимые условия, но не достаточные. Как избежать: последний шаг решения — всегда верификация.
• Ошибка: объявить, что «уравнение Коши имеет решение $f(x) = cx$» без условия непрерывности или монотонности. Почему неверно: без регулярности существуют патологические решения. Как избежать: оговаривай условия применимости; в олимпиадных задачах обычно добавляют «непрерывная» или область — $\mathbb{Q}$.
• Ошибка: делать только одну подстановку и пытаться сразу получить ответ. Почему неверно: как правило, нужна цепочка из 3–5 подстановок для полного раскрытия структуры. Как избежать: веди список «что знаем о $f$» и методично добавляй в него новые факты.
• Ошибка: при обнаружении инъективности не указывать, откуда она берётся. Почему неверно: инъективность нужно доказывать из уравнения, а не постулировать. Как избежать: покажи явно: «из $f(a) = f(b)$ и такой-то подстановки получаем $a = b$».