C5a Теорема Виета

Почему метод важен

По таблице ВсОШ 9 метод C5a (Многочлены: корни и Виета) — 11 задач как основной. Кроме того, под общим тегом C5 (вместе с C5b) — 9+ задач. Метод встречается с 2011 по 2023, на всех этапах, и часто комбинируется с D12 (целые корни), D1 (делимость), F (геометрия графиков).

Главное, что даёт C5a:

• работу с дискриминантом и условием существования корней;
• формулы Виета \(x_1+x_2=-p, x_1x_2=q\);
• симметрические функции от корней;
• задачи на общие корни двух уравнений;
• задачи с параметром.

Реальные ориентиры из таблицы

Предупреждение: часть задач OCR-фрагментарные.

• Теорема Виета для квадратного уравнения: если $x_1, x_2$ — корни $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), то$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$$ Условие: уравнение имеет два корня (вещественных или комплексных, считая с кратностями$). *$Когда использовать:* всегда, когда задача связана с корнями квадратного уравнения.

• Обратная теорема Виета: если $s = x_1 + x_2$ и $p = x_1 x_2$, то $x_1, x_2$ — корни уравнения $t^2 - st + p = 0$. Когда использовать: конструируешь уравнение по заданным свойствам корней.

• Теорема Виета для многочлена степени $n$: если $x_1, \ldots, x_n$ — корни $a_n x^n + \ldots + a_0 = 0$, то$$\sum x_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n}, \quad \sum_{i < j} x_i x_j = \frac{a_{n-2}}{a_n}, \quad \ldots, \quad x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}.$$ Когда использовать: кубические и уравнения более высоких степеней.

• Формулы Ньютона для степенных сумм: $p_k = x_1^k + x_2^k$ выражаются рекуррентно через $s = x_1 + x_2$, $p = x_1 x_2$:$$p_1 = s, \quad p_2 = s^2 - 2p, \quad p_3 = s^3 - 3sp, \quad p_k = s \cdot p_{k-1} - p \cdot p_{k-2}.$$ Когда использовать: нужно найти $x_1^k + x_2^k$ для $k \geq 2$.

• Обозначить $s = x_1 + x_2$, $p = x_1 x_2$ и перевести все вопросы в язык $s, p$. Это стандартный первый шаг — сделай его автоматически.
• Выразить $x_1^2 + x_2^2 = s^2 - 2p$, $x_1^2 x_2^2 = p^2$ и т.д. Это цепочка: знаешь $s$ и $p$ → знаешь все симметрические функции.
• Для задачи с параметром: потребовать целочисленность $s$ и $p$. Если $s = -b/a$ и $p = c/a$ должны быть целыми — это условие на параметр.
• Трюк $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = p - s + 1$ и аналоги. Для нахождения условий на корни: строй выражения вида $(x_1 - k)(x_2 - k)$, они выражаются через $s$ и $p$.
• Обратная Виета: из $s$ и $p$ составить квадратное уравнение $t^2 - st + p = 0$ и проверить, что оно имеет нужные корни (дискриминант $s^2 - 4p \geq 0$ и т.д.).
• Связь с неравенствами: $s^2 \geq 4p$ (условие вещественности корней). Если корни вещественны, то $(x_1 - x_2)^2 = s^2 - 4p \geq 0$.
• Кубическое: если один корень известен — найди $s, p, q$ и восстанови остальные.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- «Квадратное уравнение», «корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$».
- «Сумма корней», «произведение корней», «$x_1 + x_2$», «$x_1 x_2$».
- «При каких целых значениях $a$ уравнение имеет целые корни».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- В задаче задан многочлен степени 2 (или 3) и вопрос про свойства его корней.
- Нужно найти значение симметрического выражения от корней: $x_1^2 + x_2^2$, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, $(x_1 - x_2)^2$.
- Задача о построении уравнения по свойствам корней («составьте квадратное уравнение, корни которого...»).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти значение симметрической функции корней без явного нахождения корней.
- Найти все целые значения параметра, при которых уравнение имеет целые корни.
- Составить уравнение, корни которого связаны с корнями данного формулой.

7 семейств C5a

Семейство 1. Прямое применение Виета

Сигнал: даны коэффициенты, нужно найти симметрическое выражение от корней.

Задача 1.1

У уравнения \(x^2-7x+10=0\) корни \(x_1, x_2\). Найдите \(x_1+x_2\) и \(x_1 x_2\).

Скелет решения: по Виета: \(x_1+x_2=7, x_1x_2=10\).

Ответ:

\[ 7,\ 10 \]

Задача 1.2

У уравнения \(x^2-5x+6=0\) корни \(x_1, x_2\). Найдите \(x_1^2+x_2^2\).

Скелет решения: \(x_1+x_2=5, x_1x_2=6\). \(x_1^2+x_2^2=25-12=13\).

Ответ:

\[ 13 \]

Задача 1.3

У уравнения \(2x^2-3x-5=0\) корни \(x_1, x_2\). Найдите \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\).

Скелет решения: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{3/2}{-5/2}=-\dfrac{3}{5}\).

Ответ:

\[ -\dfrac{3}{5} \]

Задача 1.4

У уравнения \(x^2+px+q=0\) корни \(x_1, x_2\). Найдите \(x_1^3+x_2^3\) через \(p, q\).

Скелет решения: \(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=-p^3+3pq=-p(p^2-3q)\).

Ответ:

\[ -p^3+3pq \]

Семейство 2. Целочисленные корни

Сигнал: «корни целые», коэффициенты целые.

Главный ход: \(x_1x_2=q\), значит корни — делители \(q\); \(x_1+x_2=-p\) — фильтр.

Задача 2.1

При каких целых \(p, q\) уравнение \(x^2+px+q=0\) имеет два целых корня \(x_1=3, x_2=-4\)?

Скелет решения: \(p=-(x_1+x_2)=1, q=x_1x_2=-12\).

Ответ:

\[ p=1,\ q=-12 \]

Задача 2.2

При каких целых \(n\) уравнение \(x^2-nx+12=0\) имеет два целых корня?

Скелет решения: пары делителей 12: \((1,12),(2,6),(3,4),(-1,-12),(-2,-6),(-3,-4)\). Суммы: \(13,8,7,-13,-8,-7\). Значит \(n\in\{\pm 7,\pm 8,\pm 13\}\).

Ответ:

\[ \pm 7,\ \pm 8,\ \pm 13 \]

Задача 2.3

Реальный сюжет (2012, муниципальный, №5). Могут ли все корни уравнений \(x^2-px+q=0\) и \(x^2-(p+1)x+q=0\) оказаться целыми числами, если: (а) \(q>0\); (б) \(q<0\)?

Скелет решения: реальный сюжет 2012 муниципального. Пусть оба уравнения имеют целые корни \((u, v)\) и \((s, t)\). По Виета: \(u+v=p, uv=q\); \(s+t=p+1, st=q\). Значит \(st=uv\) и \(s+t=u+v+1\). Целые пары \((u,v)\) и \((s,t)\) с одним произведением и разностью сумм 1.

(а) \(q>0\): \(u, v\) одного знака. Пусть оба положительны. \(uv=q\). Нужно найти другие пары \((s,t)\) с \(st=q\) и \(s+t=u+v+1\). Пример: \(q=6\): \((u,v)=(1,6)\), \((s,t)=(2,3)\). Суммы 7 и 5, разность \(-2\), не подходит. \((u,v)=(2,3), (s,t)=(1,6)\): суммы 5 и 7, разность 2. Не подходит. Перебор показывает, что разность сумм при делителях \(q>0\) обычно превышает 1. Можно показать, что таких \((u,v),(s,t)\) с разностью сумм ровно 1 не бывает для \(q>0\) — это требует анализа.

(б) \(q<0\): корни разных знаков. Пример: \(q=-6\): пары \((1,-6),(2,-3),(3,-2),(6,-1),(-1,6),\ldots\). Суммы \(-5,-1,1,5\). Разности сумм: \((-5,-1)\to 4\), \((-5,1)\to 6\), \((-1,1)\to 2\), \((1,5)\to 4\). Не дают разность 1. Перебор показывает, что и в случае \(q<0\) разность 1 не достигается всегда. Это и есть смысл задачи: ответ «нет» в обоих случаях. Но реальный сюжет может содержать частные случаи с конкретным \(q\).

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — рассмотреть пары делителей }q\text{ и разность их сумм.} \]

Задача 2.4

Реальный сюжет (2014, муниципальный, №2). Про коэффициенты \(a, b, c, d\) двух квадратных трёхчленов \(x^2+bx+c\) и \(x^2+ax+d\) известно, что \(0

Скелет решения: реальный сюжет 2014 муниципального. Пусть общий корень \(x_0\). Тогда \(x_0^2+bx_0+c=0\) и \(x_0^2+ax_0+d=0\). Вычитая: \((b-a)x_0+(c-d)=0\), значит \(x_0=(d-c)/(b-a)\). Из \(c0\). Но трёхчлен \(x^2+bx+c\) при \(x>0\) и \(b, c>0\) даёт значение \(x^2+bx+c>0\), значит \(x_0\) не может быть корнем. Противоречие. Ответ: не могут.

Ответ:

\[ \text{нет} \]

Семейство 3. Общий корень двух уравнений

Сигнал: два уравнения, общий корень.

Главный ход: вычесть уравнения, получить линейное.

Задача 3.1

Уравнения \(x^2+5x+6=0\) и \(x^2+7x+10=0\) имеют общий корень. Какой?

Скелет решения: вычитаем: \(2x+4=0\), \(x=-2\). Проверка: \((-2)^2+5(-2)+6=0\) — да. \((-2)^2+7(-2)+10=0\) — да.

Ответ:

\[ -2 \]

Задача 3.2

При каких \(p\) уравнения \(x^2+px+1=0\) и \(x^2+x+p=0\) имеют общий корень?

Скелет решения: вычитаем: \((p-1)x+(1-p)=0\), \((p-1)(x-1)=0\). Значит \(p=1\) или \(x=1\). При \(x=1\): \(1+p+1=0, p=-2\). Проверка: \(x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\); \(x^2+x-2=0\Rightarrow x=1, -2\). Общий корень 1. При \(p=1\): оба уравнения \(x^2+x+1=0\) — нет действительных корней.

Ответ:

\[ p=-2 \]

Задача 3.3

Реальный сюжет (2019, школьный, №3). У уравнений \(x^2+2019ax+b=0\) и \(x^2+2019bx+a=0\) есть один общий корень. Найдите его, если \(a\ne b\).

Скелет решения: реальный сюжет 2019 школьного. Вычитание: \(2019(a-b)x+(b-a)=0\), \((a-b)(2019x-1)=0\). Так как \(a\ne b\), \(x=1/2019\).

Ответ:

\[ 1/2019 \]

Задача 3.4

Реальный сюжет (2015, заключительный, №1). Числа \(a, b\) таковы, что каждый из трёхчленов \(x^2+ax+b\) и \(x^2+bx+a\) имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов \(\ldots\). Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2015 заключительного. Главный ход — условия \(a^2>4b\) и \(b^2>4a\). Произведение двух трёхчленов — многочлен 4-й степени, его корни — объединение корней. Условие в задаче связано с симметрией \(a\leftrightarrow b\). Полный текст частичный.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — записать дискриминанты обоих трёхчленов и использовать симметрию.} \]

Семейство 4. Параметр и расположение корней

Сигнал: «существует ли значение параметра», «при каких корни в отрезке».

Главный ход: значение трёхчлена в граничных точках и положение вершины.

Задача 4.1

При каких \(a\) оба корня \(x^2-ax+1=0\) положительны?

Скелет решения: по Виета: \(x_1x_2=1>0\), значит одного знака. \(x_1+x_2=a\). Оба положительны \(\Leftrightarrow a>0\). Плюс \(D=a^2-4\ge 0\), значит \(|a|\ge 2\). В сочетании: \(a\ge 2\).

Ответ:

\[ a\ge 2 \]

Задача 4.2

При каких \(p\) уравнение \(x^2+px+p+3=0\) имеет два различных корня?

Скелет решения: \(D=p^2-4(p+3)>0\), \(p^2-4p-12>0\), \((p-6)(p+2)>0\), \(p<-2\) или \(p>6\).

Ответ:

\[ p<-2\ \text{или}\ p>6 \]

Задача 4.3

Реальный сюжет (2021, заключительный, №5). Числа \(b>0\) и \(a\) таковы, что \(x^2+ax+b\) имеет два различных корня, ровно один из которых лежит на \([-1;1]\). Докажите, что \(\ldots\). Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2021 заключительного. Условие «ровно один корень в \([-1;1]\)» эквивалентно тому, что значения \(f(-1)\) и \(f(1)\) имеют разные знаки: \(f(-1)f(1)<0\). То есть \((1-a+b)(1+a+b)<0\), значит \((1+b)^2-a^2<0\), \(a^2>(1+b)^2\), \(|a|>1+b\). Так как \(b>0\), это даёт нужное неравенство.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — }f(-1)f(1)<0\text{ и преобразование к }|a|>1+b. \]

Задача 4.4

Реальный сюжет (2018, школьный, №4). Разность корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами \(2018x^2+ax+b=0\) — целое число. Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2018 школьного. Разность корней равна \(\dfrac{\sqrt{D}}{2018}\), где \(D=a^2-8072 b\). Условие «целое» означает \(\sqrt D=2018 k\) для некоторого целого \(k\ge 0\), то есть \(D=2018^2 k^2\). Тогда \(a^2-8072 b=2018^2 k^2\). Дальше требуется анализ с конкретными целочисленными ограничениями (зависят от полного условия).

Ответ для курса:

\[ \text{ход — записать }\sqrt D=2018k\text{ и анализ }D=2018^2k^2. \]

Семейство 5. Симметрические уравнения и многочлены

Сигнал: \(f(a, b)\) симметрично относительно перестановки переменных.

Главный ход: ввести \(s=a+b, p=ab\), переписать уравнение через \(s, p\).

Задача 5.1

Решите систему: \(a+b=5\), \(ab=6\).

Скелет решения: \(a, b\) — корни уравнения \(t^2-5t+6=0\), значит \(t=2, 3\).

Ответ:

\[ (2,3)\ \text{или}\ (3,2) \]

Задача 5.2

Найдите все пары \((a, b)\), для которых \(a+b=4\) и \(a^2+b^2=10\).

Скелет решения: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\), значит \(10=16-2ab, ab=3\). \(a, b\) — корни \(t^2-4t+3=0\), \(t=1, 3\).

Ответ:

\[ (1,3)\ \text{или}\ (3,1) \]

Задача 5.3

Найдите все тройки \((a, b, c)\), для которых \(a+b+c=6, ab+bc+ac=11, abc=6\).

Скелет решения: \(a, b, c\) — корни \(x^3-6x^2+11x-6=0=(x-1)(x-2)(x-3)\).

Ответ:

\[ \{1, 2, 3\} \]

Задача 5.4

Реальный сюжет (2017, школьный, №4). Три школьника сказали по два утверждения про натуральные \(a, b, c\): Антон: «\(a+b+c=34\)», «\(abc=56\)». Борис: «\(ab+bc+ac=311\)», «наименьшее из \(\{a,b,c\}\) равно \(\ldots\)». Один — рыцарь, остальные лжецы. Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2017 школьного (гибрид $B1 + C5a)$. Если рыцарь даёт правдивые \((a+b+c, abc, ab+bc+ac)\), то \(a, b, c\) — корни \(x^3-34x^2+(\ldots)x-56=0\). Подбор: при \(ab+bc+ac=311\) дискриминант кубического слишком велик, корни не натуральные. Через перебор «правдивых» комбинаций находится единственная согласованная. Текст OCR-фрагментарный.

Ответ для курса:

\[ \text{ход — подставить тройку }(a+b+c, ab+bc+ac, abc)\text{ в кубическое и проверить наличие натуральных корней.} \]

Семейство 6. Геометрия параболы и графиков

Сигнал: задача про график \(y=ax^2+bx+c\) или его пересечения с прямыми.

Главный ход: вершина параболы, ось симметрии, точки пересечения.

Задача 6.1

Найдите вершину параболы \(y=x^2-6x+5\).

Скелет решения: ось симметрии \(x=3\), \(y(3)=9-18+5=-4\). Вершина \((3,-4)\).

Ответ:

\[ (3,-4) \]

Задача 6.2

При каких \(c\) парабола \(y=x^2+c\) касается прямой \(y=2x+1\)?

Скелет решения: \(x^2+c=2x+1\), \(x^2-2x+(c-1)=0\). Дискриминант \(=0\): \(4-4(c-1)=0, c=2\).

Ответ:

\[ c=2 \]

Задача 6.3

Реальный сюжет (2013, муниципальный, №2). На рисунке изображён график функции \(y=x^2+ax+b\). Известно, что прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(y=x\). Найдите длину отрезка \(OC\) (где \(O\) — начало координат, а \(C\) — конкретная точка из условия). Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2013 муниципального. Условие \(AB\perp y=x\) означает, что прямая \(AB\) имеет наклон \(-1\). Если \(A, B\) — точки пересечения параболы с осями (или другие точки), их координаты выражаются через корни и коэффициенты. Получаем уравнение на \(a, b\). Дальше \(OC\) — конкретная величина. Без полного рисунка не идём.

Ответ для курса:

\[ \text{ход — записать координаты точек на параболе и использовать наклон }-1. \]

Задача 6.4

Реальный сюжет (2022, муниципальный, №6). Прямая \(y=kx+l\) пересекает оси в точках \(B\) и \(C\), гипербола \(y=1/x\) — в точках \(A\) и \(D\). Известно \(AB=BC=CD\). Найдите \(k\). Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2022 муниципального. Точки пересечения прямой и гиперболы: \(kx+l=1/x\), \(kx^2+lx-1=0\). По Виета: \(x_A+x_D=-l/k, x_Ax_D=-1/k\). Условие равенства отрезков \(AB=BC=CD\) (на прямой) даёт уравнения на \(l, k\). Через подстановки находим \(k\).

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — координаты }A, D\text{ через Виета для }kx^2+lx-1=0. \]

Семейство 7. Сложные задачи C5a (заключительный уровень)

Сигнал: трёхчлены с параметрами, симметрия, игры.

Задача 7.1

Числа \(a, b\) такие, что трёхчлены \(x^2+ax+b\) и \(x^2+bx+a\) имеют общий корень \(x_0\). Чему равно \(x_0\)?

Скелет решения: вычитаем: \((a-b)x_0+(b-a)=0\), \((a-b)(x_0-1)=0\). Если \(a\ne b\), \(x_0=1\). Если \(a=b\), уравнения совпадают.

Ответ:

\[ x_0=1\ \text{(если }a\ne b\text{)} \]

Задача 7.2

Реальный сюжет (2023, школьный, №6). Действительное \(a\) таково, что уравнение \(ax^2+(a+10)x-10-2a=0\) имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Найдите все возможные \(a\).

Скелет решения: реальный сюжет 2023 школьного. Пусть корни \(t\) и \(3t\). По Виета: \(t+3t=-\dfrac{a+10}{a}\), \(t\cdot 3t=-\dfrac{2a+10}{a}\). \(4t=-\dfrac{a+10}{a}\), \(3t^2=-\dfrac{2a+10}{a}\). Из первого: \(t=-\dfrac{a+10}{4a}\). Подставляем во второе: \(3\cdot\dfrac{(a+10)^2}{16a^2}=-\dfrac{2a+10}{a}\), \(\dfrac{3(a+10)^2}{16a^2}=-\dfrac{2(a+5)}{a}\). Умножим обе части на \(16a^2\): \(3(a+10)^2=-32a(a+5)\). Раскрываем: \(3(a^2+20a+100)=-32a^2-160a\), \(3a^2+60a+300=-32a^2-160a\), \(35a^2+220a+300=0\), \(7a^2+44a+60=0\). \(D=44^2-4\cdot 7\cdot 60=1936-1680=256=16^2\). \(a=\dfrac{-44\pm 16}{14}=\dfrac{-28}{14}=-2\) или \(\dfrac{-60}{14}=-\dfrac{30}{7}\).

Проверка \(a=-2\): уравнение \(-2x^2+8x-6=0\), или \(x^2-4x+3=0\), корни 1 и 3 — отличаются в 3 раза. \(a=-30/7\): уравнение \(-\dfrac{30}{7}x^2+\dfrac{40}{7}x-\dfrac{10}{7}=0\), или \(-30x^2+40x-10=0\), \(3x^2-4x+1=0\), корни \(1\) и \(1/3\) — отличаются в 3 раза.

Ответ:

\[ a=-2\ \text{или}\ a=-\dfrac{30}{7} \]

Задача 7.3

Реальный сюжет (2011, заключительный, №4). У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально — это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 — у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен с корнями \(\ldots\). Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2011 заключительного. Игра на манипуляцию корнями. Каждый ход — это построение нового трёхчлена с заданными корнями (числа из тетради). Инвариант — некоторая симметрическая функция от пар чисел. Без полного текста полное решение не приводим.

Ответ для курса:

\[ \text{ход — найти инвариант игры через симметрические функции.} \]

Задача 7.4

Реальный сюжет (2023, заключительный, №1). Даны два приведённых трёхчлена \(f(x), g(x)\). Известно, что \(f, g, f+g\) имеют по два корня. Оказалось, что разность \(\ldots\). Какой ход?

Скелет решения: реальный сюжет 2023 заключительного. Через дискриминанты и Виета связываются коэффициенты \(f\) и \(g\). Сумма парабол даёт ещё один трёхчлен. Полный анализ требует точного условия.

Ответ для курса:

\[ \text{первый ход — записать }f+g\text{ как }2x^2+(a+b)x+(c+d)\text{ и его Виета.} \]

• Ошибка: применить Виета к уравнению, у которого нет двух корней. Если дискриминант $D < 0$ — вещественных корней нет, и формулы Виета «работают» только в $\mathbb{C}$. → Перед применением Виета проверяй, что $D \geq 0$ (если задача о вещественных числах).
• Ошибка: перепутать знаки. $x_1 + x_2 = -b/a$, а не $+b/a$. Для $x^2 - 5x + 3 = 0$: $s = +5$, не $-5$. → Каждый раз явно выписывай $a, b, c$ и применяй формулу $-b/a$.
• Ошибка: использовать Виета для нахождения самих корней вместо их симметрических функций. Виета даёт $x_1 + x_2$ и $x_1 x_2$, но не $x_1$ и $x_2$ по отдельности (без квадратного уравнения). → Не пиши «$x_1 = s - x_2$» и не пытайся решить это — это тавтология.
• Ошибка: забыть проверить знак корней при условии «натуральные» или «положительные». Нашли $s > 0$ и $p > 0$, но это не гарантирует натуральность. → Дополнительно проверяй $D = s^2 - 4p \geq 0$ и целочисленность $\sqrt{D}$.
• Ошибка: применить Виета для многочлена без учёта ведущего коэффициента. Для $2x^2 + 6x + 4 = 0$: $x_1 + x_2 = -6/2 = -3$, а не $-6$. → Делай уравнение приведённым (делить на $a$) или явно используй $-b/a$.
• Ошибка: вычислить $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 = s^2$. Правильно: $x_1^2 + x_2^2 = s^2 - 2p$. → Запомни: $s^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$, лишние $2p$ надо вычесть.