C2 Дискриминант и квадратные уравнения

Метод состоит в том, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (или система/неравенство, сводящееся к нему) анализируется через дискриминант $D = b^2 - 4ac$, что даёт информацию о числе и характере корней без их явного нахождения.

Дискриминант — это не просто «формула для решения квадратного уравнения». На олимпиадах его используют иначе: вместо того чтобы найти корни, смотрят на знак $D$. Если задача требует «найти все целые значения параметра $a$, при которых уравнение имеет два корня» — это задача на $D \geq 0$. Если нужно, чтобы корни были целыми — нужно $D$ быть точным квадратом.

Аналогия: дискриминант — это «индикатор качества» уравнения. Хороший дискриминант ($D > 0$) говорит «да, решения есть». Нулевой ($D = 0$) — «только одно». Отрицательный ($D < 0$) — «над $\mathbb{R}$ решений нет».

Особенно мощен метод в задачах с параметром: когда нужно найти значения параметра, при которых уравнение обладает заданными свойствами корней (целые, натуральные, определённого знака, различные).

• Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, $a \neq 0$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Условие: $a \neq 0$. Когда использовать: любое квадратное уравнение или проверка числа корней.

• Критерий вещественных корней: уравнение имеет вещественные корни $\Leftrightarrow D \geq 0$. Когда использовать: задачи, где нужно найти значения параметра, обеспечивающие существование корней.

• Критерий целых корней: если $a, b, c \in \mathbb{Z}$ и $a = 1$, то целые корни — делители $c$. Для $a \neq 1$: $D$ должен быть точным квадратом и $-b \pm \sqrt{D}$ делится на $2a$. Когда использовать: задачи «найти все целые корни».

• Связь с теоремой Виета: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. Когда использовать: вместо явного нахождения корней работать с их суммой и произведением (см. C5a).

• Дискриминант в задачах с параметром: если в коэффициентах $b$ или $c$ стоит параметр $t$, то $D(t) \geq 0$ — это неравенство, которое определяет допустимые значения $t$. Когда использовать: «при каких значениях параметра уравнение имеет ровно два корня».

• Потребовать $D \geq 0$ и решить неравенство. Если нужно, чтобы уравнение имело корни, запиши $D \geq 0$ как неравенство на параметр и реши.
• Потребовать $D = k^2$ (точный квадрат) для целых корней. Составь уравнение $b^2 - 4ac = k^2$ и найди допустимые целые $k$.
• Выделить полный квадрат вместо применения формулы (удобно для $a=1$): $x^2 + bx + c = (x + \frac{b}{2})^2 + (c - \frac{b^2}{4})$.
• Рассмотреть знаки корней через $D$ и формулы Виета. Оба корня положительны $\Leftrightarrow$ $D \geq 0$, $x_1 + x_2 > 0$, $x_1 x_2 > 0$.
• Использовать $D = 0$ для нахождения кратных корней. Кратный корень $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Свести уравнение к квадратному заменой. Например, $t = x^2$ или $t = x + \frac{1}{x}$.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- Уравнение содержит $x^2$ (явно или скрыто).
- В задаче есть параметр $a, b, k, \ldots$ и вопрос «при каких значениях параметра уравнение имеет...».
- Слова «два различных корня», «единственный корень», «не имеет вещественных корней».

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Многочлен второй степени в условии (или сводящийся к нему).
- Условие «корни — натуральные числа» или «корни целые» при целых коэффициентах.
- Задача про пересечение параболы и прямой (сводится к квадратному уравнению).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти все целые/натуральные значения параметра при заданных условиях на корни.
- Доказать, что уравнение не имеет вещественных корней (т.е. $D < 0$).
- Найти значения параметра, при которых корни удовлетворяют дополнительному условию (оба положительны, один больше другого).

Задача 1. Целые значения параметра

Условие: При каких целых значениях $a$ уравнение $x^2 - ax + (a+3) = 0$ имеет два целых корня?

Источник: тренировочная (типичный ВсОШ-формат)

Как думать (рассуждение ученика):
1. Вижу квадратное уравнение с параметром $a$. Вопрос — о целых корнях. Триггер: «два целых корня».
2. Метод: для целых корней $x_1, x_2$ квадратного $x^2 - ax + (a+3) = 0$ с ведущим коэффициентом 1 применяю теорему Виета: $x_1 + x_2 = a$, $x_1 x_2 = a + 3$.
3. Вычту: $x_1 x_2 - (x_1 + x_2) = 3$, то есть $x_1 x_2 - x_1 - x_2 = 3$, значит $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 4$.
4. Ищу все разложения $4$ на два целых множителя: $(1,4), (2,2), (4,1), (-1,-4), (-2,-2), (-4,-1)$.

Решение:
По Виета: $x_1 + x_2 = a$, $x_1 x_2 = a + 3$.
Тогда $x_1 x_2 - x_1 - x_2 = 3$, откуда $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1 = 4$.

Перебираем разложения числа $4 = d_1 \cdot d_2$ на целые:
| $d_1$ | $d_2$ | $x_1 = d_1+1$ | $x_2 = d_2+1$ | $a = x_1+x_2$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 2 | 5 | 7 |
| 2 | 2 | 3 | 3 | 6 |
| 4 | 1 | 5 | 2 | 7 |
| $-1$ | $-4$ | 0 | $-3$ | $-3$ |
| $-2$ | $-2$ | $-1$ | $-1$ | $-2$ |
| $-4$ | $-1$ | $-3$ | 0 | $-3$ |

Ответ: $a \in \{-3, -2, 6, 7\}$.

Что в этой задаче было главным: трюк «вычесть $x_1+x_2$ из $x_1 x_2$» и добавить 1, чтобы получить произведение $(x_1-1)(x_2-1)$ — это классический приём, позволяющий свести задачу к перебору делителей.

Задача 2. Дискриминант для доказательства неравенства

Условие: Докажите, что для любых вещественных $x, y$ выполняется $x^2 + xy + y^2 \geq 0$.

Источник: тренировочная

Как думать (рассуждение ученика):
1. Вижу квадратичное выражение в двух переменных. Нужно доказать неотрицательность.
2. Метод: рассмотрю как квадратный трёхчлен по переменной $x$: $f(x) = x^2 + xy + y^2$. Если дискриминант $D < 0$, трёхчлен не меняет знак и, так как ведущий коэффициент $> 0$, всегда положителен.
3. Вычислю $D$: $D = y^2 - 4y^2 = -3y^2 \leq 0$.
4. При $y \neq 0$: $D < 0$, значит $f(x) > 0$ для всех $x$. При $y = 0$: $f(x) = x^2 \geq 0$.

Решение:
Рассматриваем $f(x) = x^2 + yx + y^2$ как квадратный трёхчлен по $x$. Дискриминант: $D = y^2 - 4y^2 = -3y^2$.

• Если $y \neq 0$: $D = -3y^2 < 0$, ведущий коэффициент $a=1 > 0$, значит $f(x) > 0$ для всех $x$.
• Если $y = 0$: $f(x) = x^2 \geq 0$.

В обоих случаях $x^2 + xy + y^2 \geq 0$, причём равенство только при $x = y = 0$.

Ответ: Доказано. Равенство при $x = y = 0$.

Что в этой задаче было главным: взгляд на выражение как на квадратный трёхчлен по одной переменной и использование знака дискриминанта вместо алгебраических преобразований — нестандартное, но очень эффективное применение.

• Ошибка: забыть условие $a \neq 0$. Если $a = 0$, уравнение не квадратное, и формула дискриминанта не применима. → Всегда проверяй, что коэффициент при $x^2$ ненулевой.
• Ошибка: перепутать $D \geq 0$ и $D > 0$ для «двух различных корней». «Два различных вещественных корня» ↔ $D > 0$, а не $D \geq 0$. → Запомни: $D = 0$ — один (кратный) корень, $D > 0$ — два различных.
• Ошибка: решать «найдите целые корни» только через формулу, без теоремы о рациональных корнях. Если коэффициенты целые, целые корни — делители свободного члена. → Сначала перебери делители.
• Ошибка: в задаче с параметром не проверить, что корни удовлетворяют дополнительным условиям. Нашёл $D \geq 0$, но забыл, что корни должны быть натуральными. → После нахождения $D \geq 0$ дополнительно проверяй условия на знак и целочисленность корней.
• Ошибка: вычислить $D$ с арифметической ошибкой. Особенно при $b$ с параметром. → Дважды проверяй $b^2$ и $4ac$, когда один из коэффициентов — выражение с параметром.