A2b Работа и производительность

Идея метода: задачи на работу и производительность — это задачи о том, как несколько «работников» (людей, насосов, машин, труб) выполняют совместную работу. Метод состоит в том, чтобы перейти от «за сколько времени» к «какая доля работы в единицу времени» — это делает задачу алгебраической.

Ключевой переход: если один исполнитель выполняет всю работу за $t$ часов, то за 1 час он выполняет $\dfrac{1}{t}$ работы. Это и есть его производительность. Когда исполнители работают вместе, их производительности складываются.

Интуиция: представь, что «вся работа» — это ведро воды объёмом 1. Один кран наполняет его за 3 часа (производительность $\frac{1}{3}$ ведра в час), другой — за 6 часов ($\frac{1}{6}$ ведра в час). Вместе за час они наполняют $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ ведра. Значит, вместе справятся за 2 часа.

Прелесть метода — в стандартизации: любую «работу» можно принять за 1, не думая об её реальном масштабе.

• Производительность: если исполнитель выполняет всю работу за $t$ единиц времени, то его производительность (доля работы в единицу времени) равна $p = \dfrac{1}{t}$. Условие: известно время полного выполнения работы одним исполнителем.
• Совместная работа: при одновременной работе нескольких исполнителей их производительности складываются: $p_{\text{общ}} = p_1 + p_2 + \ldots + p_n$. Время совместной работы: $T = \dfrac{1}{p_1 + p_2 + \ldots + p_n}$. Когда использовать: несколько исполнителей работают одновременно.
• Частичная работа: если исполнитель 1 работал время $t_1$, а исполнитель 2 — время $t_2$, выполненная работа: $p_1 \cdot t_1 + p_2 \cdot t_2 = 1$ (вся работа$). *$Когда использовать:* исполнители подключаются в разное время.
• Труба с оттоком: если одна труба наполняет резервуар (производительность $+p_1$), а другая опустошает ($-p_2$), то суммарная производительность $p_1 - p_2$. Когда использовать: задачи с резервуарами и двумя трубами разного действия.

• Принять всю работу за 1 — это позволяет не думать о реальных единицах (килограммы, детали, литры).
• Найти производительность каждого исполнителя как $1/t_i$ перед составлением уравнения.
• Выразить долю выполненной работы за заданное время: $\text{доля} = p \cdot t$.
• При чередовании исполнителей (один работает, другой ждёт) суммировать вклады каждого за своё время.
• Составить уравнение «сумма долей = 1» — это главное уравнение задачи.
• Проверить ответ: подставить найденное время и убедиться, что $p_1 t_1 + p_2 t_2 + \ldots = 1$.

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- Слова «вместе», «производительность», «за сколько часов/дней выполнят работу».
- Упоминаются «трубы», «краны», «насосы», «рабочие», «бригады».
- Один исполнитель работает быстрее другого; нужно найти время совместной или раздельной работы.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Заданы времена выполнения работы каждым исполнителем по отдельности.
- Один исполнитель начинает или заканчивает раньше.
- Присутствует «наполнение» и «опустошение» (резервуар с двумя трубами).

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти время совместного выполнения работы.
- Найти время работы одного, если известно время другого и условие о совместном результате.
- Найти производительность одного исполнителя по данным о совместной работе.

Задача 1. Первый рабочий может сделать деталь за 4 часа, второй — за 6 часов. За сколько часов они сделают деталь вместе?

Источник: тренировочная (классика задач на совместную работу, 5–6 класс).

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что я вижу? Два рабочих, оба работают одновременно, известны их индивидуальные времена. Ищу время совместной работы.$2. *$Триггер: «вместе» → производительности складываются.$3. *$Первый ход: найду производительность каждого: $p_1 = \frac{1}{4}$ дет/ч, $p_2 = \frac{1}{6}$ дет/ч.$4. *$Уравнение:* совместная производительность $p_1 + p_2$, время $T = \frac{1}{p_1+p_2}$.

Решение:$$p_1 + p_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}.$$ $$T = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ ч} = 2 \text{ ч } 24 \text{ мин.}$$

Ответ: $2{,}4$ часа (2 часа 24 минуты).

Что в этой задаче было главным: переход от «времён» к «производительностям» через обратную величину — это центральная идея всего метода.

Задача 2. Резервуар заполняется через первую трубу за 3 часа и опустошается через вторую трубу за 5 часов. Через сколько часов заполнится резервуар, если обе трубы открыты одновременно?

Источник: тренировочная (задачи с резервуарами, ВсОШ 6–7 класс).

Как думать (рассуждение ученика$):
1. $Что я вижу? Одна труба наполняет (+), другая опустошает (−). Ищу время заполнения.$2. *$Триггер: «заполняется» и «опустошается» одновременно → результирующая производительность = разность.$3. *$Первый ход: $p_1 = 1/3$, $p_2 = 1/5$. Суммарная: $1/3 - 1/5$.$4. *$Уравнение:* $T = 1/(p_1 - p_2)$.

Решение:$$p_{\text{общ}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15}.$$ $$T = \frac{1}{2/15} = \frac{15}{2} = 7{,}5 \text{ ч.}$$

Ответ: $7{,}5$ часа.

Что в этой задаче было главным: отток — это отрицательная производительность; производительности складываются со знаком, а не только суммируются.

• Ошибка: складывать времена, а не производительности → «Вместе справятся за $4+6=10$ часов» — неверно. → Как избежать: всегда переводи в производительности $1/t_i$ и складывай их.
• Ошибка: принять «работу» за конкретное число (например, за 12) → Не ошибка сама по себе, но легко запутаться с единицами. → Как избежать: проще принять работу за 1 — тогда «производительность» и «доля работы» — одна и та же безразмерная величина.
• Ошибка: не учесть, что один исполнитель начал раньше → Уравнение составлено так, будто оба работали одинаковое время. → Как избежать: явно записывай время каждого исполнителя через отдельные переменные или через $t$ и $t - \Delta t$.
• Ошибка: труба на вытекание даёт положительную производительность → Резервуар не заполнится никогда, если вытекает быстрее, чем наполняется. → Как избежать: проверяй знак суммарной производительности — он должен быть положительным для наполнения.
• Ошибка: ответ в долях, а не в часах → Нашли $T = 2/5$ и решили, что это «2 часа 5 минут». → Как избежать: переводи дроби в часы и минуты явно ($2/5 \cdot 60 = 24$ мин, итого 0 ч 24 мин).