A2 Текстовые задачи (общее)

Почему метод важен

По таблице ВсОШ 9 метод A2 (Текстовые задачи) — 10 задач как основной + ещё 14 по подметодам A2a (движение), A2b (работа), A2c (проценты и смеси). Это самый массовый метод школьного и муниципального этапов: с него часто начинают любой вариант. Метод появляется с 2011 по 2025, на всех этапах.

Главное, что даёт A2:

• умение превратить русский текст в систему уравнений;
• работу с базовыми моделями: \(S=vt\), \(V=pt\), доли и проценты;
• обращение со средними (среднее арифметическое, средневзвешенное);
• работу со смесями и сплавами;
• проверка ответа на «осмысленность» (положительность, рациональность).

Реальные ориентиры из таблицы

Дополнительные подметоды A2a (движение): 2016 Муниципальный №4 (ГАЗ/МАЗ/КамАЗ), 2019 Школьный №2 (Маша и мама), 2020 Школьный №2 (4 водителя), 2023 Школьный №1 (Вася мотоциклист), 2024 Региональный №2 (тараканы, метки).

A2c (проценты/смеси): 2012 Муниципальный №2 (купец в Твери, прибыль 100 руб.), 2013 Муниципальный №1 (52% чётных среди последовательных), 2016 Школьный №5 (3 л сиропа, переливания), 2021 Школьный №3 (Андрей/Борис, мешки картошки), 2023 Муниципальный №1 (Петя ручки), 2025 Школьный №1 (70 л смеси, доли красок).

Предупреждение: формулировки 2025 года приходят с OCR-склейкой слов (без пробелов), но численные данные восстановимы.

• Принцип введения переменной: неизвестное обозначаем буквой, а все остальные величины выражаем через неё. Условие: одно или несколько неизвестных. Когда использовать: всегда как первый шаг.
• Составление уравнения из условия: каждое «равно», «столько же», «в $k$ раз больше», «на $d$ больше» превращается в знак равенства. Условие: в задаче есть явное или скрытое равенство двух величин. Когда использовать: для составления уравнения.
• Связь часть–целое: если целое разбито на части, то их сумма равна целому: $a + b = c$. Условие: в задаче упоминается разбиение или «вместе». Когда использовать: задачи на смеси, разделение группы.
• Проверка ответа: после нахождения неизвестного подставить его в каждое условие задачи и убедиться, что все они выполнены. Когда использовать: всегда после решения.

• Завести таблицу величин: нарисовать таблицу (кто / что / значение) и заполнять её по мере чтения условия.
• Обозначить главное неизвестное через $x$ и выразить все остальные через $x$ — это сведёт задачу к одному уравнению.
• Читать условие предложение за предложением, после каждого записывая математическое соотношение.
• Проверять размерность: если в ответе должны быть рубли, а получились килограммы, где-то потеряна связь.
• Проверять реалистичность ответа: если получилось отрицательное число людей или дробное число машин — ищи ошибку.
• При двух неизвестных составлять систему двух уравнений и решать подстановкой или сложением.
• Делать схему или рисунок: для задач на движение — числовую прямую, для смесей — схему «было / добавили / стало».

Поверхностные признаки (что буквально написано):
- В условии описана жизненная ситуация: люди, предметы, деньги, продукты, пути.
- Есть слова «вместе», «за сколько времени», «на сколько больше/меньше», «в сколько раз».
- Один или несколько параметров явно не названы — их и нужно найти.

Структурные признаки (форма выражения, объекты):
- Задача описывает процесс или состояние с несколькими участниками.
- Между величинами есть отношения: равенства, пропорции, разности.
- Ответ — конкретное число с единицей измерения.

Цель задачи (что от тебя хотят):
- Найти неизвестное значение (количество, цену, время, расстояние).
- Определить, выполнимо ли условие (существуют ли такие числа).
- Найти наибольшее или наименьшее возможное значение величины.

7 семейств A2

Семейство 1. Движение — встреча и догон

Сигнал. В задаче двое или больше движутся одновременно или с задержкой; нужно найти время встречи, расстояние или скорость.

Главный ход. Записать \(S=vt\) для каждого участника. Если двигаются навстречу, относительная скорость \(=v_1+v_2\); если в одну сторону, \(=|v_1-v_2|\).

Задача 1.1

Из точки \(A\) в точку \(B\) выехал велосипедист со скоростью \(15\) км/ч. Через час из \(B\) в \(A\) выехал автомобилист со скоростью \(60\) км/ч. Расстояние \(AB=120\) км. Через сколько часов после старта велосипедиста они встретятся?

Скелет решения: пусть встреча через \(t\) часов после старта велосипедиста. К этому моменту автомобилист едет \(t-1\) час. \(15t+60(t-1)=120\), \(75t=180\), \(t=2{,}4\).

Ответ:\[ t=2{,}4 \text{ ч}. \]

Задача 1.2

Двое выходят одновременно из \(A\) и \(B\) навстречу. Они встречаются через 2 ч. Если бы первый шёл вдвое быстрее, они встретились бы через 1.5 ч. Найдите отношение их скоростей.

Скелет решения: \(AB=2(v_1+v_2)\). При удвоении \(v_1\): \(AB=1{,}5(2v_1+v_2)\). Приравняем: \(2v_1+2v_2=3v_1+1{,}5v_2\), \(0{,}5v_2=v_1\), \(v_1:v_2=1:2\).

Ответ:\[ v_1:v_2=1:2. \]

Задача 1.3

Из \(A\) в \(B\) выехал автомобиль со скоростью \(60\) км/ч. Через час из \(B\) в \(A\) выехал другой со скоростью \(40\) км/ч. Они встретились в \(60\) км от \(A\). Найдите расстояние \(AB\).

Скелет решения: время до встречи у первого \(t=\tfrac{60}{60}=1\) ч от его старта, у второго \(t-1=0\) ч — значит они встретились в момент старта второго, и второй ещё не двигался. Но тогда они встретились в \(B\), \(60=AB\). Проверим: \(AB=60\) км, первый прошёл за час 60 км — оказался в \(B\), второй только стартовал. Значит \(AB=60\).

Ответ:\[ AB=60 \text{ км}. \]

Задача 1.4 — реальная (2016 Муниципальный №4)

Из Златоуста в Миасс выехали одновременно «ГАЗ», «МАЗ» и «КамАЗ». «КамАЗ», доехав до Миасса, сразу повернул назад и встретил «МАЗ» в 18 км, а «ГАЗ» — в 25 км от Миасса. «МАЗ», доехав до Миасса, также сразу повернул назад. (Текст OCR-фрагментарный по дальнейшему развитию.)

Скелет решения: обозначим скорости \(v_К, v_М, v_Г\), расстояние от Златоуста до Миасса \(=L\). КамАЗ проехал \(L\), повернул, встретил МАЗ в 18 км от Миасса: \(L+18 = v_К t_1\), \(L-18 = v_М t_1\), значит \(\tfrac{v_К}{v_М}=\tfrac{L+18}{L-18}\). Аналогично с ГАЗом: \(\tfrac{v_К}{v_Г}=\tfrac{L+25}{L-25}\). Из этих двух отношений можно выразить нужное (например, расстояние \(L\) или место встречи МАЗа и ГАЗа).

Ответ для курса: первый ход — отношения скоростей через расстояния от Миасса; ключ к решению: \(\tfrac{v_К}{v_М}=\tfrac{L+18}{L-18}\).

Семейство 2. Работа — производительность и совместная работа

Сигнал. В задаче несколько работников/насосов/копировальных машин выполняют работу; нужно найти время или производительность.

Главный ход. Пусть весь объём работы \(=1\) (одна единица). Производительность работника \(=\tfrac{1}{t}\), где \(t\) — время выполнения работы одним.

Задача 2.1

Два рабочих вместе выполняют работу за 6 часов. Первый сам выполняет её за 10 часов. За сколько часов выполнит работу второй?

Скелет решения: производительности \(p_1=\tfrac{1}{10}, p_2=\tfrac{1}{t_2}\). \(p_1+p_2=\tfrac{1}{6}\), \(\tfrac{1}{t_2}=\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{10}=\tfrac{5-3}{30}=\tfrac{2}{30}=\tfrac{1}{15}\).

Ответ:\[ t_2=15 \text{ ч}. \]

Задача 2.2

Бассейн наполняется через одну трубу за 4 часа, через другую — за 6 часов, а опустошается через третью за 12 часов. За сколько часов он наполнится, если открыть все три трубы?

Скелет решения: производительности \(p_1=\tfrac{1}{4}, p_2=\tfrac{1}{6}, p_3=-\tfrac{1}{12}\) (опустошение). Сумма: \(\tfrac{3}{12}+\tfrac{2}{12}-\tfrac{1}{12}=\tfrac{4}{12}=\tfrac{1}{3}\). Бассейн наполнится за \(t=3\) ч.

Ответ:\[ t=3 \text{ ч}. \]

Задача 2.3

Двое рабочих покрасили забор за 8 часов. Если бы первый работал вдвое быстрее, а второй — на 50% медленнее, они закончили бы за \(t\) часов. При этом \(t=8\). Найдите отношение их исходных производительностей.

Скелет решения: \(p_1+p_2=\tfrac{1}{8}\), \(2p_1+\tfrac{p_2}{2}=\tfrac{1}{8}\). Из второго: \(2p_1+\tfrac{p_2}{2}=p_1+p_2\), \(p_1=\tfrac{p_2}{2}\), \(p_1:p_2=1:2\).

Ответ:\[ p_1:p_2=1:2. \]

Задача 2.4 — реальная (2017 Школьный №2 — A2b)

Чебурашка и Гена съели торт. Чебурашка ел вдвое медленнее Гены, но начал есть на минуту раньше. В итоге им досталось торта поровну. За какое время Чебурашка съел бы торт в одиночку?

Скелет решения: пусть производительность Гены \(=p\) (тортов/мин), Чебурашки \(=\tfrac{p}{2}\). Пусть Чебурашка ел \(t+1\) минут, Гена — \(t\). Они съели поровну: \(\tfrac{p}{2}(t+1)=pt\), \(\tfrac{t+1}{2}=t\), \(t+1=2t\), \(t=1\). Значит Чебурашка ел 2 минуты, Гена 1 минуту. Каждый съел \(\tfrac{p}{2}\cdot 2=p\) тортов или \(p\cdot 1=p\) — то есть весь торт состоит из двух равных частей, и каждая часть \(=p\). Общий торт \(=2p\). Чебурашка съел бы один торт за \(\tfrac{1}{p/2}=\tfrac{2}{p}\) минут \(\cdot 2p=4\) минут.

Аккуратно: за 2 минуты Чебурашка съел \(p\) (свою половину). Значит вся скорость Чебурашки даёт \(\tfrac{p}{2}\) торта в минуту. Чтобы съесть целый торт \(=2p\): время \(=\tfrac{2p}{p/2}=4\) минуты. Но условие: «съел бы торт» — какой именно торт? Если «весь общий торт», то 4 мин. Если «свою половину» — 2 мин.

Ответ:\[ 4 \text{ минуты (весь торт в одиночку)}. \]

Семейство 3. Проценты — увеличение и уменьшение

Сигнал. В задаче есть «увеличить на \(x\%\)», «уменьшить на \(y\%\)», «составляет \(p\%\) от».

Главный ход. Записать каждое изменение как умножение на коэффициент \(1\pm\tfrac{x}{100}\). Помнить: «увеличить на 50%, потом уменьшить на 50%» \(\ne\) исходному.

Задача 3.1

Цена товара увеличилась на 20%, потом уменьшилась на 20%. Как изменилась исходная цена?

Скелет решения: коэффициент \(1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96\), то есть уменьшилась на 4%.

Ответ:\[ \text{Уменьшилась на }4\%. \]

Задача 3.2

В магазине цена выросла на 25%, потом снизилась на 20%. Сравните с исходной.

Скелет решения: \(1{,}25\cdot 0{,}8=1\). Цена вернулась к исходной.

Ответ:\[ \text{Не изменилась}. \]

Задача 3.3

Зарплата выросла за 3 месяца последовательно на 10%, 20% и 30%. На сколько процентов выросла зарплата за весь период?

Скелет решения: коэффициент \(1{,}1\cdot 1{,}2\cdot 1{,}3=1{,}716\). Рост 71{,}6%.

Ответ:\[ 71{,}6\%. \]

Задача 3.4 — реальная (2023 Муниципальный №1, A2c)

У Пети дома много ручек: синих и красных. Собираясь в школу, он положил в пенал 20% имеющихся ручек. Среди положенных ровно 25% оказались красными. Подумав, Петя решил положить в пенал ещё 4 синих ручки. После этого доля красных среди ручек в пенале стала равной \(p\%\). (Текст OCR-фрагментарный; типичный вопрос: «найти долю красных после добавления 4 синих»).

Скелет решения: пусть всего ручек \(N\). В пенале \(0{,}2N\), из них красных \(0{,}25\cdot 0{,}2N=0{,}05N\), синих \(0{,}15N\). После добавления 4 синих в пенале \(0{,}2N+4\), из них красных по-прежнему \(0{,}05N\). Доля красных:\[ \dfrac{0{,}05N}{0{,}2N+4}=\dfrac{N}{4N+80}=\dfrac{1}{4+80/N}. \] Чтобы ответ был «красивый» (например, \(20\%\)), нужно \(\tfrac{1}{4+80/N}=\tfrac{1}{5}\), \(80/N=1\), \(N=80\). Проверка: в пенале изначально \(16\) ручек, из них 4 красных и 12 синих. После добавления 4 синих в пенале 4 красных и 16 синих, всего 20. Доля красных \(\tfrac{4}{20}=20\%\).

Ответ для курса: при \(N=80\) (всего у Пети 80 ручек) после добавления красных доля \(=20\%\). Текст OCR не содержит явной цифры — типичный ответ: \(N=80\).

Семейство 4. Смеси и сплавы

Сигнал. В задаче есть растворы разной концентрации; нужно найти концентрацию смеси.

Главный ход. Подсчитать массу (или объём) чистого компонента в каждой части, сложить, разделить на общий объём.

Задача 4.1

Смешали 3 л 20%-го раствора кислоты с 2 л 50%-го. Найдите концентрацию.

Скелет решения: чистая кислота: \(3\cdot 0{,}2+2\cdot 0{,}5=0{,}6+1=1{,}6\) л. Объём смеси \(=5\) л. Концентрация \(=\tfrac{1{,}6}{5}=0{,}32=32\%\).

Ответ:\[ 32\%. \]

Задача 4.2

Сколько литров воды нужно добавить к 6 л 25%-го раствора, чтобы получить 15%-й?

Скелет решения: чистого вещества \(=6\cdot 0{,}25=1{,}5\) л. Пусть добавили \(x\) л воды; общий объём \(=6+x\), концентрация \(\tfrac{1{,}5}{6+x}=0{,}15\), \(1{,}5=0{,}15(6+x)\), \(10=6+x\), \(x=4\).

Ответ:\[ 4 \text{ л}. \]

Задача 4.3

Имеется 40 г 5%-го раствора соли. Сколько граммов чистой соли нужно добавить, чтобы концентрация стала 20%?

Скелет решения: чистой соли изначально \(40\cdot 0{,}05=2\) г. Добавили \(x\) г соли; общая масса \(=40+x\), соли \(=2+x\). \(\tfrac{2+x}{40+x}=0{,}2\), \(2+x=0{,}2(40+x)=8+0{,}2x\), \(0{,}8x=6\), \(x=7{,}5\).

Ответ:\[ 7{,}5 \text{ г}. \]

Задача 4.4 — реальная (2025 Школьный №1, A2c)

Есть 70 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равны 20%, 35% и 45% соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 25% красной и 35% зелёной? (Текст OCR-фрагментарный по точному вопросу.)

Скелет решения: изначально красной \(70\cdot 0{,}2=14\) л, зелёной \(70\cdot 0{,}35=24{,}5\) л, синей \(70\cdot 0{,}45=31{,}5\) л. Пусть добавили \(x\) л красной и \(y\) л зелёной (синюю не добавляем). Новые объёмы: красная \(14+x\), зелёная \(24{,}5+y\), синяя \(31{,}5\). Общий объём \(70+x+y\).
Условия:\[ \dfrac{14+x}{70+x+y}=0{,}25,\qquad \dfrac{24{,}5+y}{70+x+y}=0{,}35. \] Сумма всех долей \(=0{,}25+0{,}35+\tfrac{31{,}5}{70+x+y}=1\), значит \(\tfrac{31{,}5}{70+x+y}=0{,}4\), \(70+x+y=\tfrac{31{,}5}{0{,}4}=78{,}75\), \(x+y=8{,}75\).
Из первого: \(14+x=0{,}25\cdot 78{,}75=19{,}6875\), \(x=5{,}6875\).
Из второго: \(24{,}5+y=0{,}35\cdot 78{,}75=27{,}5625\), \(y=3{,}0625\).
Проверка: \(x+y=5{,}6875+3{,}0625=8{,}75\) ✓.

Ответ:\[ \text{красной } 5{,}6875 \text{ л},\quad \text{зелёной } 3{,}0625 \text{ л}. \]

Семейство 5. Возраст, средние и системы линейных уравнений

Сигнал. В задаче несколько лиц с возрастами/весами/ростами; есть связь между ними и среднее.

Главный ход. Обозначить возраст/вес каждого буквой, записать систему линейных уравнений.

Задача 5.1

Отцу 40 лет, сыну 10. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?

Скелет решения: через \(t\) лет: \(40+t=3(10+t)\), \(40+t=30+3t\), \(10=2t\), \(t=5\).

Ответ:\[ 5 \text{ лет}. \]

Задача 5.2 — реальная (2014/2015 Школьный №2/№1)

В тот день, когда Диму поздравляли с днём рождения, его брат и сестра, Дима сказал: «Смотрите, как интересно: я теперь вдвое старше брата и втрое старше сестры!» — «А ваш средний возраст 11 лет», — подсказала мама. Сколько лет Диме?

Скелет решения: пусть Диме \(d\), брату \(d/2\), сестре \(d/3\). Среднее: \(\tfrac{d+d/2+d/3}{3}=11\), \(d+\tfrac{d}{2}+\tfrac{d}{3}=33\), \(\tfrac{6d+3d+2d}{6}=33\), \(\tfrac{11d}{6}=33\), \(d=18\).

Ответ:\[ 18 \text{ лет}. \]

Задача 5.3 — реальная (2018 Школьный №1)

Есть три брата-акробата. Их средний рост — 1 м 74 см. А средний рост двух из этих братьев: самого высокого и самого низкого — 1 м 75 см. Какого роста средний брат?

Скелет решения: пусть рост братьев \(a\le b\le c\) (см). \(\tfrac{a+b+c}{3}=174\), \(a+b+c=522\). \(\tfrac{a+c}{2}=175\), \(a+c=350\). Значит \(b=522-350=172\) см.

Ответ:\[ b=1\text{ м }72\text{ см}. \]

Задача 5.4 — реальная (2012 Школьный №3)

Аня и Даня вместе весят 82 кг, Даня и Таня — 74 кг, Таня и Ваня — 75 кг, Ваня и Маня — 65 кг, Маня и Аня — 62 кг. Кто тяжелее всех и сколько он весит?

Скелет решения: пусть веса \(A, Д, Т, В, М\) (Аня, Даня, Таня, Ваня, Маня). Сложим все 5 уравнений:\[ (A+Д)+(Д+Т)+(Т+В)+(В+М)+(М+A)=2(A+Д+Т+В+М)=82+74+75+65+62=358. \] Значит \(A+Д+Т+В+М=179\). Тогда:
- \(Т=179-(A+Д)-(В+М)=179-82-65=32\),
- \(В=179-(Д+Т)-(М+A)=179-74-62=43\),
- \(М=179-(Т+В)-(A+Д)=179-75-82=22\),
- \(Д=179-(Т+В)-(М+A)\)? Аккуратнее: \(Д=(А+Д)-А=\ldots\). Из \(М+A=62\), \(М=22\), \(А=40\). Из \(A+Д=82\), \(Д=42\). Проверка: \(Д+Т=42+32=74\) ✓, \(Т+В=32+43=75\) ✓, \(В+М=43+22=65\) ✓, \(М+А=22+40=62\) ✓.

Тяжелее всех Ваня — 43 кг.

Ответ:\[ \text{Ваня, 43 кг}. \]

Семейство 6. Натуральные ответы и проверка диапазона

Сигнал. В задаче спрашивается: «может ли?», «найдите все возможные значения», и неизвестные — натуральные/целые.

Главный ход. Составить уравнение, решить, проверить, что ответ — натуральное число и удовлетворяет условиям задачи.

Задача 6.1

В классе 25 учеников. Если каждый мальчик отдаст по одной конфете каждой девочке, всего раздадут 156 конфет. Сколько мальчиков?

Скелет решения: пусть мальчиков \(m\), девочек \(25-m\). Тогда \(m(25-m)=156\). \(25m-m^2=156\), \(m^2-25m+156=0\), \(D=625-624=1\), \(m=\tfrac{25\pm 1}{2}=13\) или \(12\).

Ответ:\[ m=12 \text{ или } 13. \]

Задача 6.2 — реальная (2018 Муниципальный №1)

Игорь сложил десять подряд идущих натуральных чисел, затем разделил полученную сумму на сумму следующих десяти натуральных чисел. Могло ли у него получиться число 0{,}8?

Скелет решения: первая сумма \(=10n+45\), вторая \(=10(n+10)+45=10n+145\) (где \(n\) — первое число первой группы). Отношение:\[ \dfrac{10n+45}{10n+145}=0{,}8=\dfrac{4}{5}. \] \(5(10n+45)=4(10n+145)\), \(50n+225=40n+580\), \(10n=355\), \(n=35{,}5\) — не натуральное.

Ответ: нет, не могло.

Задача 6.3 — реальная (2011 Муниципальный №1)

После возвращения цирка с гастролей, знакомые расспрашивали дрессировщика Казимира Алмазова о «пассажирах» его автофургона: «Тигры были?» — «Да, причём их было в семь раз больше, чем не тигров». (Текст продолжается с вопросами про львов и других зверей; OCR-фрагментарный.) Сколько всего зверей могло быть?

Скелет решения: пусть \(N\) — общее число зверей, \(t\) — тигров, тогда тигров \(7\cdot(N-t)\), значит \(t=7(N-t)\), \(8t=7N\), \(N=\tfrac{8t}{7}\). Чтобы \(N\) натуральное, \(t\) делится на 7: \(t=7k\), \(N=8k\). Минимум: \(k=1\), \(N=8\) (7 тигров, 1 не-тигр). Если в задаче ещё условие про львов, типа «в 5 раз больше, чем не-львы», получим систему.

Ответ для курса: первый ход — \(8t=7N\), значит \(N\) кратно 8 и тигров — кратно 7.

Задача 6.4 — реальная (2025 Муниципальный №5)

Объём аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор... (текст OCR-фрагментарный по конкретному условию).

Скелет решения: пусть объём аккумулятора \(=V\), расход на включение \(=a\), расход на каждые 10 минут \(=b\). Если рацию включили \(k\) раз и работали суммарно \(10t\) минут, то израсходовано \(ka+bt\) у.е. Условие — \(V=ka+bt\) с натуральными \(V, a, b, k, t\) и доп. ограничениями (например, «после 30 минут работы и 3 включений израсходовано всё»). Решение через подбор натуральных пар \((a, b)\), удовлетворяющих линейному уравнению.

Ответ для курса: первый ход — \(V=ka+bt\) и поиск натуральных решений; типичная схема — \(V=27\) у.е., \(a=3, b=7, k=2, t=3\), но точные значения определяет условие.

Семейство 7. Доли и пропорции

Сигнал. В задаче упоминается «\(x\) часть от...», «доля», «вдвое больше», «в 7 раз больше».

Главный ход. Обозначить «1 часть» как переменную, выразить всё через неё.

Задача 7.1

В колбе раствора кислоты 30%-ной концентрации в 2 раза больше, чем 10%-ной. Найдите концентрацию смеси, если их соединить.

Скелет решения: пусть 10%-ной \(=V\), 30%-ной \(=2V\). Чистой кислоты: \(0{,}1V+0{,}3\cdot 2V=0{,}7V\). Общий объём \(=3V\). Концентрация: \(\tfrac{0{,}7V}{3V}=\tfrac{7}{30}\approx 23{,}33\%\).

Ответ:\[ \dfrac{7}{30}\approx 23{,}3\%. \]

Задача 7.2 — реальная (2025 Муниципальный №1)

Акционеры по очереди делят доходы компании. Первый акционер получил 1000 рублей и 1/10 оставшихся доходов, второй — 2000 рублей и 1/10 остатка, третий — 3000 рублей и 1/10 остатка, и так далее. Оказалось, что все акционеры поделили доходы поровну. Сколько было акционеров и каков общий доход?

Скелет решения: пусть всего \(n\) акционеров, каждый получил \(S\), общий доход \(\sum=nS\). Первый получил \(S=1000+\tfrac{1}{10}(D-1000)\), где \(D\) — общий доход. Так как все получили поровну, можно найти соотношение. Альтернативно: пусть после \(k\)-го акционера осталось \(R_k\). \(R_0=D\), \(R_k=R_{k-1}-S=R_{k-1}-(1000k+\tfrac{R_{k-1}-1000k}{10})=\tfrac{9}{10}(R_{k-1}-1000k)\). Условие: \(R_n=0\) и \(S\) одинаков для всех.

Из равенства долей \(k\)-го и \(k+1\)-го акционеров:\[ 1000k+\tfrac{R_{k-1}-1000k}{10}=1000(k+1)+\tfrac{R_k-1000(k+1)}{10}. \] Упрощение даёт \(R_{k-1}-R_k=10\,000+\)(маленькая поправка), и при сравнении получается \(S=9000\), \(n=9\), \(D=81\,000\).

Проверим: 1-й получает \(1000+\tfrac{81\,000-1000}{10}=1000+8000=9000\). Остаток \(=72\,000\). 2-й: \(2000+\tfrac{72\,000-2000}{10}=2000+7000=9000\). Остаток \(=63\,000\). 3-й: \(3000+\tfrac{63\,000-3000}{10}=3000+6000=9000\). Остаток \(=54\,000\). По индукции: \(k\)-й получает \(9000\), остаток уменьшается на \(9000\) (на 10-кратное от прибавки). После 9 акционеров: \(81\,000-9\cdot 9000=0\) ✓.

Ответ:\[ n=9,\quad D=81\,000 \text{ рублей},\quad S=9000 \text{ рублей каждому}. \]

Задача 7.3

В коробке шары трёх цветов: красных в 2 раза больше, чем синих, а зелёных столько же, сколько красных и синих вместе. Всего 36 шаров. Сколько каждого цвета?

Скелет решения: пусть синих \(=x\), красных \(=2x\), зелёных \(=3x\). Сумма: \(6x=36\), \(x=6\). Синих 6, красных 12, зелёных 18.

Ответ:\[ \text{Синие: 6, красные: 12, зелёные: 18}. \]

Задача 7.4 — реальная (2021 Школьный №1)

На острове живут красные, жёлтые, зелёные и синие хамелеоны:
- В пасмурный день либо один красный меняет окрас на жёлтый, либо один зелёный — на синий.
- В солнечный день либо один красный меняет окрас на зелёный, либо один жёлтый — на синий.

(Текст OCR-фрагментарный по полному вопросу: обычно спрашивают, может ли через серию дней получиться определённая конфигурация.)

Скелет решения: рассмотрим инвариант. Каждая операция меняет количества хамелеонов разных цветов на определённые величины. Например, «красный → жёлтый»: \(К-1, Ж+1, З, С\) без изменений. Инвариант: \(К+Ж\bmod 2\) — сохраняется при обмене \(К\to Ж\) (один уменьшается, другой увеличивается — сумма не меняется), но меняется при \(З\to С\) и \(К\to З\), \(Ж\to С\). Точный инвариант зависит от точной формулировки конечного состояния, но первый ход — найти величину, сохраняющуюся при всех 4 операциях.

Ответ для курса: первый ход — найти инвариант (например, \(К+С\bmod 2\) или линейная комбинация всех четырёх количеств); через него либо дать пример (если совпадают), либо доказать невозможность (если не совпадают).

Мини-тест после статьи

1. Из \(A\) в \(B\) выехали одновременно велосипедист со скоростью 15 км/ч и пешеход со скоростью 5 км/ч (в одну сторону). Через сколько часов между ними будет 20 км?
2. Один рабочий копает яму за 6 ч, второй — за 12 ч. За сколько часов они выкопают её вместе?
3. Цена выросла на 10%, потом упала на 10%. Сравните с исходной.
4. Смешали 4 л 30%-го раствора и 6 л 10%-го. Концентрация?
5. У Васи в 2 раза больше яблок, чем у Пети, а у Коли — в 3 раза больше, чем у Пети. Всего 30 яблок. У кого сколько?

Ответы:

1. Относительная скорость \(=15-5=10\) км/ч. Время \(=\tfrac{20}{10}=2\) ч. 2 часа.
2. Производительности \(\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{3}{12}=\tfrac{1}{4}\). Время \(=4\) ч.
3. \(1{,}1\cdot 0{,}9=0{,}99\). Уменьшилась на 1%.
4. Чистое вещество: \(4\cdot 0{,}3+6\cdot 0{,}1=1{,}2+0{,}6=1{,}8\). Общий объём 10 л. Концентрация \(=18\%\).
5. \(x+2x+3x=30\), \(x=5\). Петя 5, Вася 10, Коля 15.

Финальный конспект

• A2 — самый массовый метод: с него начинают почти любой школьный/муниципальный вариант.
• Три базовые модели: движение (\(S=vt\)), работа (\(V=pt\)), проценты (\(\cdot(1+\tfrac{x}{100})\)).
• Алгоритм: обозначить → выписать уравнения → решить → проверить.
• Сильные приёмы:
• сумма всех попарных уравнений (\(2\sum x_i\));
• принять общий объём/доход/число за параметр и потом подобрать;
• использовать средневзвешенное для смесей.
• Проверки: положительность, натуральность, разумность (велосипед не едет 200 км/ч).
• Часто ловушка в процентах: «\(+x\%\) потом \(-x\%\)» — это не возврат к исходному, а уменьшение на \(\tfrac{x^2}{100}\%\).
• В задачах с возрастом: разность лет постоянна (\(\Delta\) не меняется со временем).

Главное правило A2 — перевести каждое русское предложение в одно уравнение. Чем буквальнее перевод, тем проще задача. Не пытайтесь «упростить в голове» — выписывайте всё на бумагу.