Глава 0 · Задача
Сначала задача
Вот доска 8×8 от шахмат. У неё вырезаны две противоположные угловые клетки: левая верхняя и правая нижняя. Остаётся 62 клетки. У тебя есть сколько угодно доминошек 1×2, каждая закрывает ровно две соседние клетки.
Можно ли покрыть всю оставшуюся доску доминошками без наложений и выступов?
Возьми листок и попробуй. Минут пять, не меньше. Ответ ждёт в конце статьи, но подглядывать не надо: мы вернёмся к этой задаче, когда у тебя уже будет нужный инструмент.
Глава 1 · Герой
История Макса
Макс учится в 7 классе. По математике у него пятёрка. Он щёлкает уравнения, знает формулы сокращённого умножения и на контрольных заканчивает первым.
В октябре Макс пошёл на школьный этап олимпиады. Уверенно. Легко. Ведь пятёрка же.
Дали 5 задач. Макс не решил ни одной. Не «решил, но с ошибкой», а вообще не понял, с какого края подступиться. Домой он пришёл с нулём и с мыслью: «Наверное, я тупой».
Он не тупой. Просто Макс играл не в ту игру.
Глава 2 · Правила
Две разные игры
Школьная математика похожа на сборку мебели по инструкции. Есть схема, есть шаги, есть набор винтиков. Делай по порядку, и шкаф получится. Молодец, если ничего не перепутал.
Олимпиадная математика похожа на квест без подсказок. Тебе дают запертую комнату и говорят: «Выйди». Инструкции нет. Иногда даже не ясно, что в комнате есть дверь.
| Школа | Олимпиада | |
|---|---|---|
| Что нужно | Получить ответ | Найти идею и доказать, что ответ верный |
| Задачи | Знакомого типа, отработаны на уроке | Нестандартные, «такого мы не решали» |
| Время на задачу | Минуты | От получаса до нескольких часов |
| За что баллы | За верный ответ | За полное и честное рассуждение |
| Что помогает | Заученный алгоритм | Перебор идей и упорство |
| Как выглядит успех | «Всё сошлось с ответом» | «Ага, вот оно!» |
Главное отличие в третьей строке. В школе ты приходишь с готовым способом. На олимпиаде способ надо придумать самому. Этому можно научиться, как учатся играть на гитаре, только вместо аккордов у тебя идеи.
Глава 3 · Инструменты
Четыре вопроса к любой задаче
У олимпиадника нет тайной книги рецептов. Есть привычка задавать задаче одни и те же вопросы. Вот четыре, с которых начинается почти любая попытка. Каждому из них дальше посвящён свой уровень.
- 1
А что будет, если поменьше?
Возьми маленький случай. Вырежи из доски 2×2 два противоположных угла: останутся две клетки по диагонали, и доминошкой их не накрыть. Уже интересно: а почему так будет и на большой доске?
- 2
Что здесь не меняется?
Если с объектом шаг за шагом что-то делают, ищи то, чего шаги не трогают: чётность, сумму, число клеток одного цвета. Это инвариант.
- 3
Кого больше: «кроликов» или «клеток»?
Когда объектов больше, чем мест, куда их можно разложить, где-то окажется пара. Это принцип Дирихле.
- 4
Можно ли раскрасить или посчитать двумя способами?
Раскраска и подсчёт одной величины двумя путями превращают «невозможно» в цифры, которые не сходятся. Так решается и задача с доской.
Уровень 1 · Разминка
Чётность: самая простая идея
Первая идея очень простая. Число либо чётное, либо нечётное. Чётное плюс чётное — чётное, нечётное плюс нечётное — тоже чётное. Звучит скучно? Посмотрим, что с этим можно сделать.
В классе 25 учеников. Может ли каждый дружить ровно с тремя одноклассниками?
Попробуй сначала нарисовать. Не выходит? Подумай так. Посчитаем, сколько «дружб» вообще есть. Каждый из 25 учеников друг для трёх, значит, всего 25 × 3 = 75 «концов дружбы». Но каждая дружба соединяет двоих, то есть считается дважды. Значит, общее число концов должно делиться на 2. А 75 — нечётное.
Показать ответ
Нет, нельзя. Сумма «концов дружбы» равна 75, а она обязана быть чётной, потому что каждая дружба учтена дважды. Противоречие.
Макс решил её за две минуты. Это его первая маленькая победа. Он впервые понял: здесь думают не формулами, а рассуждением.
Уровень 2 · Прокачка
Инвариант и принцип Дирихле
Инвариант: что не меняется
Инвариант — это то, что остаётся неизменным, пока с объектом что-то делают. Представь фокусника, который тасует карты. Что бы он ни делал, карт всегда 52.
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 10. Разрешено стереть любые два числа и записать вместо них их разность (большее минус меньшее). После девяти таких операций останется одно число. Может ли оно быть нулём?
Подумай, что не меняется при каждой операции. Подсказка: посмотри на чётность суммы всех чисел на доске.
Показать решение
Сумма чисел от 1 до 10 равна 55, то есть нечётная. Когда мы стираем числа a и b и пишем |a − b|, сумма уменьшается на a + b − |a − b|, то есть на 2·min(a, b). Это чётное число. Значит, чётность суммы не меняется. В конце на доске одно число, и оно нечётное. Ноль получиться не может.
Принцип Дирихле: носки в темноте
Ты утром в темноте достаёшь носки из ящика. В ящике чёрные и белые, а тебе нужна пара одного цвета. Сколько носков нужно взять, чтобы точно получилась пара?
Три. Даже если первые два разного цвета, третий обязательно совпадёт с одним из них.
Это и есть принцип Дирихле: если «кроликов» больше, чем «клеток», то в какой-то клетке окажется минимум два кролика. Звучит смешно. Но с его помощью решают задачи, на которые сначала смотришь и не знаешь, что делать.
Уровень 3 · Первый босс
Как Макс думает вслух
Докажи, что среди любых 11 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 10.
Макс думает вслух. Смотрим, как он рассуждает.
- «Разность делится на 10... Что это значит? Числа заканчиваются на одну цифру, скажем 13 и 43.»
- «Попробовал взять 11 случайных чисел, посмотрел на последние цифры. Не вижу закономерности.»
- «Стоп. Последних цифр всего десять: 0, 1, …, 9. А чисел одиннадцать.»
- «Это же носки. Цифр десять, чисел одиннадцать. Значит, у каких-то двух чисел последняя цифра совпадёт.»
- «А если последние цифры совпали, разность оканчивается на ноль, то есть делится на 10. Готово.»
Как оформить решение
Рассмотрим последние цифры 11 чисел. Возможных цифр всего 10 (от 0 до 9). По принципу Дирихле у каких-то двух чисел последние цифры одинаковы. Тогда их разность оканчивается на 0 и делится на 10. Что и требовалось доказать.
Обрати внимание: Макс не озарился с первой секунды. Он попробовал, не получилось, присмотрелся, заметил. Так решаются почти все олимпиадные задачи. Озарение приходит после нескольких минут (или часов) обычного поиска.
Глава 4 · Снаряжение
Инвентарь героя: всё на FORMYLA.net
Каждому герою нужно снаряжение. У Макса оно собрано в одном месте, в браузере и без установки. Вот что в нём лежит.
- МечЗадачи дня10 новых олимпиадных задач каждый день. Серия не прерывается, а значит, тренировка из статьи «одна задача в день» превращается в привычку.
- ЩитПроверка решенияИИ проверяет не только ответ, но и само решение. Для олимпиады это главное: баллы дают за рассуждение.
- СвиткиКаталог методов (102)Инварианты, принцип Дирихле, индукция, оценки и другие идеи с разбором и задачами. Всё, что Макс проходил по уровням, разобрано здесь глубже.
- КомпасПерсональный планПлан подготовки под твой класс и цель, чтобы не гадать, за какую тему браться дальше.
- КартаКалендарь олимпиадДаты и этапы в одном месте: от школьного этапа до тренировочных олимпиад.
Платформа бесплатная, поэтому начать можно уже сегодня.
Глава 5 · Карта сезона
Куда всё это ведёт
Олимпиады идут по этапам, как уровни на карте мира. Для Всероссийской олимпиады школьников в сезоне 2026/27 ориентиры такие:
- 1
Школьный
до 1 ноября
- 2
Муниципальный
до 25 декабря
7–11 классы
- 3
Региональный
12 января — 28 февраля
9–11 классы
- 4
Заключительный
14 марта — 3 мая
9–11 классы
Даты стоит перепроверить на официальных страницах, они могут уточняться. Актуальный календарь олимпиад есть на FORMYLA.net.
Если школьный этап уже прошёл или вот-вот пройдёт, не грусти. Есть другие олимпиады для тренировки, например «Лучик», где можно проверить себя без давления.
Глава 6 · Ловушки
Не делай как Макс в октябре
- Хвататься за сложное. Если начать с региональных задач, можно разочароваться. Начни с простого и поднимайся постепенно.
- Зубрить приёмы. Заученный приём без понимания не сработает на новой задаче.
- Пропускать доказательства. «Ответ и так очевиден» на олимпиаде не засчитывается. Баллы дают за обоснование.
- Заниматься рывками. Пять часов в воскресенье хуже, чем по 40 минут каждый день.
- Подглядывать в ответ через 10 минут. Дай задаче хотя бы полчаса.
- Не разбирать ошибки. Неверное решение самое ценное: там видно, чего не хватает.
Глава 7 · Тренировка
Тридцать задач подряд
Одна задача в день. Бери задачи на чётность, инварианты и принцип Дирихле, а к концу месяца добавляй смешанные и пробуй сам угадать, какая идея нужна.
- Время на задачу — от 20 минут до часа. Не сдавайся раньше.
- После решения запиши его своими словами, как в чистовике.
- Если не вышло, посмотри подсказку, а не полный ответ. Потом реши заново.
Нажимай на дни, когда решил задачу.
Ориентир по времени: если ты серьёзно нацелен на олимпиады, около 5 часов в неделю вместе с самостоятельным решением задач — хороший темп. Если времени меньше, ничего страшного: 2–4 часа в неделю тоже дадут результат, только медленнее.
Финал
Доска из начала
Через три месяца Макс прошёл на муниципальный этап. Не потому, что стал гением. Он просто выучил правила новой игры и каждый день делал по одной задаче.
А теперь вернёмся к доске из начала.
Ответ на задачу про шахматную доску
Нет, покрыть нельзя.
Раскрасим доску в шахматном порядке. Тогда светлых и тёмных клеток по 32. Две противоположные угловые клетки всегда одного цвета, допустим светлые. Значит, после вырезания останется 30 светлых и 32 тёмных.
Любая доминошка закрывает ровно одну светлую и одну тёмную клетку. Значит, k доминошек закроют k светлых и k тёмных. Но у нас разное число клеток каждого цвета, а значит, покрыть доску невозможно.
Видишь? Никаких формул. Только красивая идея — раскраска. И именно так выглядит олимпиадная математика: ты смотришь на знакомую вещь и вдруг видишь в ней то, чего раньше не замечал.
Для родителей
Вопросы родителей
Как помогать, если сам не решаешь такие задачи?
Не решай за ребёнка, а задавай вопросы из главы 3: «А что будет, если поменьше?», «Что здесь не меняется?». Попроси объяснить решение вслух: если получается связно, значит, идея понята.
Сколько времени давать на одну задачу?
От двадцати минут до часа. Если за полчаса нет ни одной идеи, пусть посмотрит подсказку, а не полный ответ, и потом решит заново.
Ответ верный, а баллов мало. Почему?
На олимпиаде оценивают рассуждение, а не только ответ. Полезно после каждой задачи записывать решение так, чтобы его понял человек, который не видел условия.
Как отнестись к нулю на первом этапе?
Как Макс: ноль говорит о том, что нужна другая игра, а не о том, что ребёнок «не математик». Разбор задач после олимпиады даёт больше, чем очередной учебник.
Твой ход
Реши три задачи из статьи без подсказок
Чётность, инвариант, Дирихле. Потом бери задачи на FORMYLA.net: тема выбрана, таймер на 30 минут, можно начинать. Даже если сегодня не получится, завтра у тебя будет чуть больше идей, чем вчера.
Игра началась.